« Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre » : différence entre les versions
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Ligne 19 :
Une '''équation différentielle linéaire d'ordre un''' est alors une relation de la forme :
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Ligne 36 :
L’'''équation différentielle linéaire homogène d'ordre un''' associée à l'équation <math>\quad (E)</math> est :
}}
Ligne 117 :
* Soient <math>\quad a</math>, <math>\quad b</math> et <math>\quad c</math> trois nombres complexes, <math>\quad a</math> étant non-nul. Soit <math>\quad f</math> une fonction de <math>\scriptstyle \mathbb R</math> dans <math>\scriptstyle \mathbb C</math> dérivable. Une '''équation différentielle ordinaire linéaire d'ordre un à coefficients constants''' est alors une relation de la forme :
* L’'''équation différentielle ordinaire linéaire homogène d'ordre un à coefficients constants''' associée à cette dernière est :
}}
Ligne 176 :
Le coefficient de frottement est noté ''h'', donc
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
Ligne 190 :
* Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse ''v'', le coefficient de frottement est noté ''h'', donc
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
}}
Ligne 206 :
Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :
La solution est, d'après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :
Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire <math>v(0) = ...\,</math>.
Ligne 216 :
Cela donne pour la solution générale :
La solution finale au problème est donc :
{{Solution
Ligne 226 :
Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :
La solution est, d'après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :
Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, ce qui fixe le paramètre ''A'', qui doit alors vérifier :
La solution finale au problème est donc :
'''Application numérique''' : Tracer ''v'' en fonction de ''t'' pour :
Ligne 258 :
L’'''équation différentielle linéaire homogène d'ordre un''' associée à l'équation (E) est :
<br />
{{Théorème
| titre=Solutions de l'équation homogène|contenu=
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle homogène d'ordre un est :
où
{{Démonstration déroulante|contenu =
La fonction ''a'' ne s'annulant pas, on peut librement redéfinir ''b'' et ''c'' pour avoir un coefficient 1 devant la dérivée de ''f''. Considérons par ailleurs l'équation homogène dans un premier temps. On cherche donc à résoudre :
Soit <math>\Phi</math> une primitive de la fonction <math>\frac{b}{a}</math>, par exemple :
où ''x₀'' est un réel que l'on fixe (par exemple 0).
Alors la dérivée de <math>\phi : x\mapsto e^{- \Phi(x)}</math> est
On a ainsi l'ensemble des solutions à l'équation homogène.}}
Ligne 286 :
L'ensemble des solutions générales de l'équation différentielle d'ordre un est :
Avec
}}
</br>
{{Démonstration déroulante|contenu =
Pour terminer la résolution, employons la méthode de « variation de la constante », qui consiste à rechercher des solutions particulières de la forme :
On a donc, en dérivant :
Réinjectons cela dans l'équation différentielle :
Ce qui donne directement :
Donc :
On a ainsi une solution particulière. Finalement, nous avons résolu complètement l'équation différentielle.}}
Ligne 338 :
Le principe fondamental de la dynamique donne :
Déterminer ''v'' en fonction de ''t''.
Ligne 347 :
On a ainsi l'équation :
Posons le problème sous la forme canonique :
Les solutions sont, d'après la formule générale, de la forme :
Avec
Donc :
On note ''v₀'' la vitesse à l'origine des temps, alors, trivialement, ''A = -v₀''. Pour conserver l'homogénéité, indiquons toutefois la masse ''m₀'' = 1. La solution est donc :
Sans préciser ''m'' davantage, on ne peut pas en dire plus — mais c'est déjà beaucoup. Celle-ci connue, une intégration par parties suffira probablement à déterminer complètement ''v''.
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