« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions

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Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
:<math>\begin{array}{ccccc}
u_1&:&\R^3&\rightarrow&\R\\
~&~&(x,y,z)&\mapsto&x-y+3z
\end{array}</math>
:<math>\begin{array}{ccccc}
u_2&:&\R^3&\rightarrow&\R\\
~&~&(x,y,z)&\mapsto&-x-2y+2
\end{array}</math>
:<math>\begin{array}{ccccc}
u_3&:&\R^3&\rightarrow&\R\\
~&~&(x,y,z)&\mapsto&xz
\end{array}</math>
:<math>\begin{array}{ccccc}
u_4&:&\R^3&\rightarrow&\R\\
~&~&(x,y,z)&\mapsto&y-z
Ligne 36 :
 
On a :
:<math>\begin{align}u_1(\lambda v_1+v_2)&=u_1(\lambda x_1+x_2,\lambda y_1+y_2,\lambda z_1+z_2)\\
&=\lambda x_1+x_2-(\lambda y_1+y_2)+3(\lambda z_1+z_2)\\
&=\lambda (x_1-y_1+3z_1)+(x_2-y_2+3z_2)
Ligne 42 :
 
De plus :
:<math>\lambda u_1(v_1)+u_1(v_2)=\lambda(x_1-y_1+3z_1)+(x_2-y_2+3z_2)\,</math>
 
Donc pour tout <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2,~u_1(\lambda v_1+v_2)=\lambda u_1(v_1)+u_1(v_2)</math>
Ligne 85 :
 
On a :
:<math>\begin{align}u_4(\lambda v_1+v_2)&=u_4(\lambda x_1+x_2,\lambda y_1+y_2,\lambda z_1+z_2)\\
&=\lambda y_1+y_2-(\lambda z_1+z_2)\\
&=\lambda (y_1-z_1)+y_2-z_2
Ligne 91 :
 
De plus :
:<math>\lambda u_4(v_1)+u_4(v_2)=\lambda(y_1-z_1)+(y_2-z_2)\,</math>
 
Donc pour tout <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2,~u_4(\lambda v_1+v_2)=\lambda u_4(v_1)+u_4(v_2)</math>
Ligne 104 :
 
Soit l'application ''u'' définie par :
:<math>\begin{array}{ccccc}
u&:&\R^2&\rightarrow&\R^2\\
~&~&(x,y)&\mapsto&(x+y,x-y)
Ligne 119 :
 
On a :
:<math>\begin{align}u(\lambda v_1+v_2)&=u(\lambda x_1+x_2,\lambda y_1+y_2)\\
&=\begin{array}{|l}\lambda x_1+x_2+\lambda y_1+y_2\\\lambda x_1+x_2-(\lambda y_1+y_2)\end{array}\\
&=\begin{array}{|l}\lambda(x_1+y_1)+(x_2+y_2)\\\lambda(x_1-y_1)+(x_2-y_2)\end{array}\\
Ligne 133 :
 
Soit <math>(x_0,y_0)\in\R^2</math>.
:<math>\begin{align}
u(x_0,y_0)=v &\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_0+y_0=x\\x_0-y_0=y\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_0=\frac12(x-y)\\y_0=\frac12(x+y)\end{array}\right.
Ligne 143 :
| contenu =
Finalement, u est un automorphisme de <math>\R^2</math> et sa réciproque est l'application
:<math>\begin{array}{ccccc}
u^{-1}&:&\R^2&\rightarrow&\R^2\\
~&~&(x,y)&\mapsto&\left(\frac12(x-y),\frac12(x+y)\right)
Ligne 155 :
 
Soit l'application ''l'' définie par :
:<math>\begin{array}{ccccc}
l&:&E&\rightarrow&\R\\
~&~&f&\mapsto&\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(t)~\mathrm dt
Ligne 165 :
| contenu =
Soit <math>(\lambda,f,g)\in\R\times E^2</math>
:<math>\begin{align}
l(\lambda f+g)&=\int_{-\pi}^{\pi}(\lambda f+g)(t)\cos(t)~\mathrm dt\\
&=\int_{-\pi}^{\pi}\left(\lambda f(t)+g(t)\right)\cos(t)~\mathrm dt\\