« Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions

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'''1. Étudier les variations de ƒ.'''
:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> :
:<math>f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1</math>
 
Or, pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1</math> donc <math>f'(x)\leq 0</math>
 
Si on pose <math>g:x\mapsto -x+\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a :
:<math>\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=-x+\frac52</math>}}
'''5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.'''
:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est :
:<math>\begin{align}
y&=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)\\
&=-2+\frac52-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot(x-2)\\
'''1. Étudier les variations de ƒ.'''
:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> :
:<math>f'(x)=2+2\times(-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})</math>
 
Or, pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1</math> donc <math>f'(x)\geq 0</math>
 
Si on pose <math>g:x\mapsto 2x-\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a :
:<math>\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=2x-\frac52</math>}}
'''5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.'''
:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est :
:<math>\begin{align}
y&=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)\\
&=2\times2-\frac52+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\
'''2.''' Démontrer que ƒ<sub>''λ''</sub> est paire, c'est-à-dire pour tout <math>x\in\R,~f_{\lambda}(-x)=f_{\lambda}(x)</math>.
:Soit <math>x\in\R</math>
:<math>\begin{align}
f_{\lambda}(-x)&=\frac{e^{\lambda (-x)}+e^{-\lambda (-x)}}{2\lambda}\\
&=\frac{e^{-\lambda x}+e^{\lambda x}}{2\lambda}
'''3.''' Étudier les variations de ƒ<sub>''λ''</sub> et déterminer sa limite en <math>+\infty</math>.
:ƒ<sub>''λ''</sub> est dérivable et, pour tout <math>x\in\R</math> :
::<math>\begin{align}
f_{\lambda}'(x)&=\frac{\lambda e^{\lambda x}+(-\lambda)e^{-\lambda x}}{2\lambda}\\
&=\frac{e^{\lambda x}-e^{-\lambda x}}2\\
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