« Ondes électromagnétiques/Rayonnement dipolaire » : différence entre les versions

 

On considère une distribution globalement nulle de charges définie par la densité <math>\rho(P,t)\,</math> au point P et à l'instant ''t'', confinée dans un volume V fini de l'espace.

 

Le moment dipolaire de cette distribution est alors, par définition :

 

Posons Q la charge positive totale contenue dans V. L'ensemble étant globalement neutre :

 

On note respectivement G₊ et G_- les barycentres des charges positives et négatives :

:d'où <math>\vec p=Q(\overrightarrow{\rm OG_+}-\overrightarrow{\rm OG_-})</math>

 

| titre = Équations des potentiels retardés

| contenu =

 

On applique alors l'approximation dipolaire pour aboutir aux équations simplifiées suivantes :

| titre = Équations des potentiels retardés dans le cadre de l'approximation dipolaire

| contenu =

 

Dans notre cas, on suppose que le vecteur densité de courant est engendré par le mouvement des charges (c'est-à-dire qu'il n'y a pas de « courant permanent » au sens de la magnétostatique).

 

Or, on peut remarquer que <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\vec p(t)=\sum_i q_i \vec v_i(t)</math>

 

Le rotationnel en coordonnées sphériques d'une fonction vectorielle <math>\vec W(r,\theta,\varphi)\,</math> s'écrit

= \frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta W_\varphi)-\frac{\partial W_\theta}{\partial \varphi}\right)\vec u_r

+ \left(\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial W_r}{\partial \varphi}-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rW_\varphi)\right)\vec u_\theta

 

Dans le cas d'un vecteur qui ne dépend que de la coordonnée d'espace ''r'', le rotationnel se réduit à :

\operatorname{rot}(\vec{W}) &= -\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rW_\varphi)\vec u_\theta

+ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rW_\theta)\vec u_\varphi\\

 

Rappelons qu'on cherche à calculer <math>\vec B({\rm M},t)</math> à l'ordre 1. Notre expression est à présent sous la forme <math>\vec B({\rm M},t)=\frac{\mu_0}{4\pi r}\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\vec W)</math>. Comme on ne souhaite garder que les termes du premier ordre pour le résultat <math>\vec B</math>, on peut encore réduire le rotationnel à :

\operatorname{rot}(\vec{W}) &= -\frac{\partial W_\varphi}{\partial r}\vec u_\theta +\frac{\partial W_\theta}{\partial r}\vec u_\varphi\\

&= \begin{array}{|c} \displaystyle{\frac{\partial}{\partial r}}\\0\\0\\\end{array} \wedge \vec W

 

Dans le système de coordonnées sphériques, l'expression du champ magnétique devient, en norme :

 

On remarque alors que le champ magnétique est '''anisotrope''', c'est-à-dire qu'il n'a pas la même intensité dans toutes les directions de l'espace.

=== Puissance ===

Localement, on utilise le vecteur de Poynting :

\vec\Pi &= \frac1{\mu_0}\vec E\wedge\vec B=\frac{cB^2}{\mu_0}\vec u_r\\

&=\frac{\mu_0\sin^2(\theta)}{16\pi^2 r^2c} \ddot p\left(t-\frac rc\right) \vec u_r

 

Globalement, notons <math>\mathcal S</math> une sphère centrée en O, englobant le volume V, de rayon ''R'' très grand devant les dimensions caractéristiques de V. La puissance traversant <math>\mathcal S</math> vaut :

\mathcal P &= \oint_{\mathcal S} \vec\Pi\cdot\overrightarrow{{\rm d}S}\\

&= \int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} \frac{\mu_0\sin^2(\theta)}{16\pi^2 R^2c} \left[\ddot p\left(t-\frac Rc\right)\right]^2\, R^2\sin(\theta) \,{\rm d}\theta\,{\rm d}\varphi \\