« Espace préhilbertien réel/Projecteurs orthogonaux » : différence entre les versions
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Ligne 32 :
* <math>E=F\oplus F^\perp</math> donc
:On applique le théorème de Pythagore : <math>||x||^2=||p_F(x)||^2+||x-p_F(x)||^2\,</math>, d'où <math>||p_F(x)||\leq ||x||</math>
:On a égalité ssi <math>||x-p_F(x)||^2=0\,</math> ssi <math>x=p_F(x)\,</math> ssi <math>x\in F</math>
* <math>y=p_F(y)+y-p_F(y)\,</math>
{{Propriété
| contenu =
Si F est de dimension ''n'', il existe une base e de ''n'' vecteurs de F.
{{Démonstration déroulante}}
Ligne 68 :
On note <math>(p_i)_{1\leq i \leq r}</math> la famille de projecteurs orthogonaux associés à cette décomposition, c'est-à-dire que <math>\forall i,~p_i</math> est le projecteur orthogonal sur F<sub>''i''</sub>.
}}
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