« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions

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Ligne 14 :
Résoudre l'équation suivante :
 
:<math> x^3 - 3x^2 - 1 = 0 ~</math>
 
 
Ligne 22 :
Nous avons une équation de la forme :
 
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
 
avec :
 
:<math> a = 1 \qquad b = -3 \qquad c = 0 \qquad d = -1 ~</math>
 
Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :
 
:<math> x = z - \frac{b}{3a} = z + 1 ~</math>
 
Nous obtenons :
 
:<math> (z + 1)^3 - 3(z + 1)^2 - 1 = 0 ~</math>
 
En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :
 
:<math> z^3 - 3z - 3 = 0 ~</math>
 
Posons :
 
:<math> z = u + v ~</math>
 
On obtient :
 
:<math> (u + v)^3 - 3(u + v) - 3 = 0 ~</math>
 
Qui peut s'écrire :
 
:<math> (u^3 + v^3) + 3(uv - 1)(u + v) - 3 = 0 ~</math>
 
Posons :
 
:<math> uv = 1 ~</math>
 
On obtient :
 
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 + v^3 = 3 \\ u^3v^3 = 1 \end{matrix}\right. </math>
 
u{{exp|3}} et v{{exp|3}} sont donc racines de l'équation :
 
:<math> X^2 - 3X + 1 = 0 ~</math>
 
Qui a pour racine :
 
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ v^3 = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right. </math>
 
Tout cela pour dire en fait que ''u'' a trois valeurs possibles qui sont :
 
:<math> u = \sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} \qquad ou \qquad u = j.\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} \qquad ou \qquad u = j^2.\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} ~</math>
 
et ''v'' a aussi trois valeurs possibles qui sont :
 
:<math> v = \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \qquad ou \qquad v = j.\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \qquad ou \qquad v = j^2.\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} ~</math>
 
Nous devons ensuite en déduire ''x'' en ajoutant une valeur de ''u'' avec une valeur de ''v''.
Ligne 82 :
Nous devons choisir une valeur de ''u'' et une valeur de ''v'' vérifiant la relation posée plus haut :
 
:<math> uv = 1 ~</math>
 
Compte tenu du fait que ''j''{{exp|3}} = 1, nous accouplerons ''u'' et ''v'' de la façon suivante :
 
:<math> \left\{\begin{matrix} u = \sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} \\ v = \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \end{matrix}\right.\qquad ou \qquad \left\{\begin{matrix} u = j.\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} \\ v = j^2.\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \end{matrix}\right.\qquad ou \qquad \left\{\begin{matrix} u = j^2.\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} \\ v = j.\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \end{matrix}\right. </math>
 
Comme ''z'' = ''u'' + ''v'', nous en déduisons trois valeurs pouz z qui sont :
Ligne 98 :
En reportant les trois valeurs de z dans la relation :
 
:<math> x = z + 1 ~</math>
 
Nous en déduisons finalement :
Ligne 119 :
Résoudre l'équation suivante :
 
:<math> 3x^3 + 9x^2 - 9x - 29 = 0 ~</math>
 
 
Ligne 127 :
Nous avons une équation de la forme :
 
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
 
avec :
 
:<math> a = 3 \qquad b = 9 \qquad c = -9 \qquad d = -29 ~</math>
 
Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :
 
:<math> x = z - \frac{b}{3a} = z - 1 ~</math>
 
Nous obtenons :
 
:<math> 3(z - 1)^3 + 9(z - 1)^2 - 9(z - 1) - 29 = 0 ~</math>
 
En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :
 
:<math> 3z^3 - 18z - 14 = 0 ~</math>
 
Posons :
 
:<math> z = u + v ~</math>
 
On obtient :
 
:<math> 3(u + v)^3 - 18(u + v) - 14 = 0 ~</math>
 
Qui peut s'écrire :
 
:<math> 3(u^3 + v^3) + 9(uv - 2)(u + v) - 14 = 0 ~</math>
 
Posons :
 
:<math> uv = 2 ~</math>
 
On obtient :
 
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 + v^3 = \frac{14}{3} \\ u^3v^3 = 8 \end{matrix}\right. </math>
 
u{{exp|3}} et v{{exp|3}} sont donc racines de l'équation :
 
:<math> X^2 - \frac{14}{3}X + 8 = 0 ~</math>
 
Qui a pour racine :
 
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 = \frac{7+i\sqrt{23}}{3} \\ v^3 = \frac{7-i\sqrt{23}}{3} \end{matrix}\right. </math>
 
Tout cela pour dire en fait que ''u'' a trois valeurs possibles qui sont :
 
:<math> u = \sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \qquad ou \qquad u = j.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \qquad ou \qquad u = j^2.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} ~</math>
 
et ''v'' a aussi trois valeurs possibles qui sont :
 
:<math> v = \sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \qquad ou \qquad v = j.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \qquad ou \qquad v = j^2.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} ~</math>
 
Nous devons ensuite en déduire ''x'' en ajoutant une valeur de ''u'' avec une valeur de ''v''.
Ligne 187 :
Nous devons choisir une valeur de ''u'' et une valeur de ''v'' vérifiant la relation posée plus haut :
 
:<math> uv = 2 ~</math>
 
Compte tenu du fait que ''j''{{exp|3}} = 1, nous accouplerons ''u'' et ''v'' de la façon suivante :
 
:<math> \left\{\begin{matrix} u = \sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \\ v = \sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \end{matrix}\right.\qquad ou \qquad \left\{\begin{matrix} u = j.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \\ v = j^2.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \end{matrix}\right.\qquad ou \qquad \left\{\begin{matrix} u = j^2.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \\ v = j.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \end{matrix}\right. </math>
 
Comme ''z'' = ''u'' + ''v'', nous en déduisons trois valeurs pouz z qui sont :
Ligne 203 :
En reportant les trois valeurs de z dans la relation :
 
:<math> x = z - 1 ~</math>
 
Nous en déduisons finalement :
Ligne 234 :
α) L'équation :
 
:<math> \frac{4x^2}{3} = \frac{\sqrt{3} - 6x}{2x - \sqrt{27}} ~</math>
 
Se met sous la forme :
 
:<math> 8x^3 - 12x^2\sqrt{3} +18x - 3\sqrt{3} = 0 ~</math>
 
Calculons le discriminant de cette équation.
Ligne 244 :
On a :
 
:<math> a = 8 \quad b = -12\sqrt{3} \quad c =18 \quad d = -3\sqrt{3} ~</math>
 
Et donc :
 
:<math> \Delta = b^2c^2 + 18abcd - 27a^2d^2 -4ac^3 - 4b^3d = 0 ~</math>
 
Calculons p et q :
 
:<math> p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{18}{8} - \frac{(-12\sqrt{3})^2}{3 \times 8^2} = 0 ~</math>
 
:<math> q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2(-12\sqrt{3})^3}{27 \times 8^3} - \frac{-12\sqrt{3} \times 18}{3 \times 8^2} + \frac{-3\sqrt{3}}{8} = 0 ~</math>
 
p et q sont nuls. Ce qui signifie que l'équation à résoudre admet une racine triple.
Ligne 260 :
Il s'ensuit que les trois racines de l'équation à résoudre sont :
 
:<math> x_1 = x_2 = x_3 = - \frac{b}{3a} = - \frac{-12\sqrt{3}}{3 \times 8} = \frac{\sqrt{3}}{2} ~</math>
 
 
β) L'équation :
 
:<math> x^3 - 5x^2 + x - 1 = 4x\sqrt{2} ~</math>
 
se met sous la forme :
 
:<math> x^3 - 5x^2 + (1 - 4\sqrt{2})x - 1 = 0 ~</math>
 
Calculons le discriminant de cette équation.
Ligne 275 :
On a :
 
:<math> a = 1 \quad b = -5 \quad c = 1 - 4\sqrt{2} \quad d = -1 ~</math>
 
Et donc :
 
:<math> \Delta = b^2c^2 + 18abcd - 27a^2d^2 -4ac^3 - 4b^3d = 0 ~</math>
 
Calculons p et q :
 
:<math> p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{1 - 4\sqrt{2}}{1} - \frac{(-5)^2}{3 \times 1^2} = -4\sqrt{2} - \frac{22}{3} ~</math>
 
:<math> q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2(-5)^3}{27 \times 1^3} - \frac{-5(1 - 4\sqrt{2})}{3 \times 1^2} + \frac{-1}{1} = \frac{-20\sqrt{2}}{3} - \frac{232}{27} ~</math>
 
Il s'ensuit que les trois racines de l'équation à résoudre sont :
 
:<math> x_1 = \frac{3q}{p} - \frac{b}{3a} = 3 + 2\sqrt{2} ~</math>
 
:<math> x_2 = x_3 = -\frac{3q}{2p} - \frac{b}{3a} = 1 - \sqrt{2} ~</math>
 
}}
Ligne 370 :
Posons :
 
:<math>x = z + \frac{2}{3} ~</math>
 
On obtient aprés simplification :
Ligne 378 :
Posons ensuite :
 
:<math>z = u + v ~</math>
 
On obtient :
 
:<math>27(u+v)^3+45(u+v)- 16 = 0 ~</math>
 
Qui se simplifie sous la forme :
 
:<math> 27\left(u^3+v^3\right)+9(9uv+5)(u+v)-16=0 ~</math>
 
Nous poserons alors :
 
:<math>9uv+5 = 0 ~</math>
 
Soit :
 
:<math>uv = -\frac{5}{9} ~</math>
 
On obtient le système :
 
:<math>\begin{cases}
u^3+v^3 = \frac{16}{27} = \frac{432}{729} \\
u^3v^3 = -\frac{125}{729}
Ligne 405 :
u<sup>3</sup> et v<sup>3</sup> sont alors les racines de l'équation :
 
:<math>729X^2 - 432X - 125 = 0 ~</math>
 
Les deux racines de cette équation sont :
 
:<math>\begin{cases}
u^3 = \frac{8+3\sqrt{21}}{27} \\
v^3 = \frac{8-3\sqrt{21}}{27}
Ligne 416 :
Compte tenue de la condition :
 
:<math>uv = -\frac{5}{9} ~</math>
 
on en déduit :
 
:<math>
\begin{cases}
u = \sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} \\
Ligne 439 :
En reportant dans z = u + v, on obtient :
 
:<math>\begin{cases}
z_1 = \sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} \\
z_2 = j\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + j^2\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} \\
Ligne 447 :
En reportant dans :
 
:<math>x = z + \frac{2}{3} ~</math>
 
On trouve finalement :
 
:<math>\begin{cases}
x_1 = \sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} + \frac{2}{3} \\
x_2 = j\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + j^2\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} + \frac{2}{3} \\