Résoudre l'équation suivante :
:<math> x^3 - 3x^2 - 1 = 0 ~</math>
Nous avons une équation de la forme :
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
avec :
:<math> a = 1 \qquad b = -3 \qquad c = 0 \qquad d = -1 ~</math>
Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :
:<math> x = z - \frac{b}{3a} = z + 1 ~</math>
Nous obtenons :
:<math> (z + 1)^3 - 3(z + 1)^2 - 1 = 0 ~</math>
En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :
:<math> z^3 - 3z - 3 = 0 ~</math>
Posons :
:<math> z = u + v ~</math>
On obtient :
:<math> (u + v)^3 - 3(u + v) - 3 = 0 ~</math>
Qui peut s'écrire :
:<math> (u^3 + v^3) + 3(uv - 1)(u + v) - 3 = 0 ~</math>
Posons :
:<math> uv = 1 ~</math>
On obtient :
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 + v^3 = 3 \\ u^3v^3 = 1 \end{matrix}\right. </math>
u{{exp|3}} et v{{exp|3}} sont donc racines de l'équation :
:<math> X^2 - 3X + 1 = 0 ~</math>
Qui a pour racine :
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ v^3 = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right. </math>
Tout cela pour dire en fait que ''u'' a trois valeurs possibles qui sont :
:<math> u = \sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} \qquad ou \qquad u = j.\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} \qquad ou \qquad u = j^2.\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} ~</math>
et ''v'' a aussi trois valeurs possibles qui sont :
:<math> v = \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \qquad ou \qquad v = j.\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \qquad ou \qquad v = j^2.\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} ~</math>
Nous devons ensuite en déduire ''x'' en ajoutant une valeur de ''u'' avec une valeur de ''v''.
Nous devons choisir une valeur de ''u'' et une valeur de ''v'' vérifiant la relation posée plus haut :
:<math> uv = 1 ~</math>
Compte tenu du fait que ''j''{{exp|3}} = 1, nous accouplerons ''u'' et ''v'' de la façon suivante :
:<math> \left\{\begin{matrix} u = \sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} \\ v = \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \end{matrix}\right.\qquad ou \qquad \left\{\begin{matrix} u = j.\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} \\ v = j^2.\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \end{matrix}\right.\qquad ou \qquad \left\{\begin{matrix} u = j^2.\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} \\ v = j.\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \end{matrix}\right. </math>
Comme ''z'' = ''u'' + ''v'', nous en déduisons trois valeurs pouz z qui sont :
En reportant les trois valeurs de z dans la relation :
:<math> x = z + 1 ~</math>
Nous en déduisons finalement :
Résoudre l'équation suivante :
:<math> 3x^3 + 9x^2 - 9x - 29 = 0 ~</math>
Nous avons une équation de la forme :
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
avec :
:<math> a = 3 \qquad b = 9 \qquad c = -9 \qquad d = -29 ~</math>
Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :
:<math> x = z - \frac{b}{3a} = z - 1 ~</math>
Nous obtenons :
:<math> 3(z - 1)^3 + 9(z - 1)^2 - 9(z - 1) - 29 = 0 ~</math>
En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :
:<math> 3z^3 - 18z - 14 = 0 ~</math>
Posons :
:<math> z = u + v ~</math>
On obtient :
:<math> 3(u + v)^3 - 18(u + v) - 14 = 0 ~</math>
Qui peut s'écrire :
:<math> 3(u^3 + v^3) + 9(uv - 2)(u + v) - 14 = 0 ~</math>
Posons :
:<math> uv = 2 ~</math>
On obtient :
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 + v^3 = \frac{14}{3} \\ u^3v^3 = 8 \end{matrix}\right. </math>
u{{exp|3}} et v{{exp|3}} sont donc racines de l'équation :
:<math> X^2 - \frac{14}{3}X + 8 = 0 ~</math>
Qui a pour racine :
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 = \frac{7+i\sqrt{23}}{3} \\ v^3 = \frac{7-i\sqrt{23}}{3} \end{matrix}\right. </math>
Tout cela pour dire en fait que ''u'' a trois valeurs possibles qui sont :
:<math> u = \sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \qquad ou \qquad u = j.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \qquad ou \qquad u = j^2.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} ~</math>
et ''v'' a aussi trois valeurs possibles qui sont :
:<math> v = \sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \qquad ou \qquad v = j.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \qquad ou \qquad v = j^2.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} ~</math>
Nous devons ensuite en déduire ''x'' en ajoutant une valeur de ''u'' avec une valeur de ''v''.
Nous devons choisir une valeur de ''u'' et une valeur de ''v'' vérifiant la relation posée plus haut :
:<math> uv = 2 ~</math>
Compte tenu du fait que ''j''{{exp|3}} = 1, nous accouplerons ''u'' et ''v'' de la façon suivante :
:<math> \left\{\begin{matrix} u = \sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \\ v = \sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \end{matrix}\right.\qquad ou \qquad \left\{\begin{matrix} u = j.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \\ v = j^2.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \end{matrix}\right.\qquad ou \qquad \left\{\begin{matrix} u = j^2.\sqrt[3]{\frac{7+i\sqrt{23}}{3}} \\ v = j.\sqrt[3]{\frac{7-i\sqrt{23}}{3}} \end{matrix}\right. </math>
Comme ''z'' = ''u'' + ''v'', nous en déduisons trois valeurs pouz z qui sont :
En reportant les trois valeurs de z dans la relation :
:<math> x = z - 1 ~</math>
Nous en déduisons finalement :
α) L'équation :
:<math> \frac{4x^2}{3} = \frac{\sqrt{3} - 6x}{2x - \sqrt{27}} ~</math>
Se met sous la forme :
:<math> 8x^3 - 12x^2\sqrt{3} +18x - 3\sqrt{3} = 0 ~</math>
Calculons le discriminant de cette équation.
On a :
:<math> a = 8 \quad b = -12\sqrt{3} \quad c =18 \quad d = -3\sqrt{3} ~</math>
Et donc :
:<math> \Delta = b^2c^2 + 18abcd - 27a^2d^2 -4ac^3 - 4b^3d = 0 ~</math>
Calculons p et q :
:<math> p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{18}{8} - \frac{(-12\sqrt{3})^2}{3 \times 8^2} = 0 ~</math>
:<math> q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2(-12\sqrt{3})^3}{27 \times 8^3} - \frac{-12\sqrt{3} \times 18}{3 \times 8^2} + \frac{-3\sqrt{3}}{8} = 0 ~</math>
p et q sont nuls. Ce qui signifie que l'équation à résoudre admet une racine triple.
Il s'ensuit que les trois racines de l'équation à résoudre sont :
:<math> x_1 = x_2 = x_3 = - \frac{b}{3a} = - \frac{-12\sqrt{3}}{3 \times 8} = \frac{\sqrt{3}}{2} ~</math>
β) L'équation :
:<math> x^3 - 5x^2 + x - 1 = 4x\sqrt{2} ~</math>
se met sous la forme :
:<math> x^3 - 5x^2 + (1 - 4\sqrt{2})x - 1 = 0 ~</math>
Calculons le discriminant de cette équation.
On a :
:<math> a = 1 \quad b = -5 \quad c = 1 - 4\sqrt{2} \quad d = -1 ~</math>
Et donc :
:<math> \Delta = b^2c^2 + 18abcd - 27a^2d^2 -4ac^3 - 4b^3d = 0 ~</math>
Calculons p et q :
:<math> p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} = \frac{1 - 4\sqrt{2}}{1} - \frac{(-5)^2}{3 \times 1^2} = -4\sqrt{2} - \frac{22}{3} ~</math>
:<math> q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} = \frac{2(-5)^3}{27 \times 1^3} - \frac{-5(1 - 4\sqrt{2})}{3 \times 1^2} + \frac{-1}{1} = \frac{-20\sqrt{2}}{3} - \frac{232}{27} ~</math>
Il s'ensuit que les trois racines de l'équation à résoudre sont :
:<math> x_1 = \frac{3q}{p} - \frac{b}{3a} = 3 + 2\sqrt{2} ~</math>
:<math> x_2 = x_3 = -\frac{3q}{2p} - \frac{b}{3a} = 1 - \sqrt{2} ~</math>
}}
Posons :
:<math>x = z + \frac{2}{3} ~</math>
On obtient aprés simplification :
Posons ensuite :
:<math>z = u + v ~</math>
On obtient :
:<math>27(u+v)^3+45(u+v)- 16 = 0 ~</math>
Qui se simplifie sous la forme :
:<math> 27\left(u^3+v^3\right)+9(9uv+5)(u+v)-16=0 ~</math>
Nous poserons alors :
:<math>9uv+5 = 0 ~</math>
Soit :
:<math>uv = -\frac{5}{9} ~</math>
On obtient le système :
:<math>\begin{cases}
u^3+v^3 = \frac{16}{27} = \frac{432}{729} \\
u^3v^3 = -\frac{125}{729}
u<sup>3</sup> et v<sup>3</sup> sont alors les racines de l'équation :
:<math>729X^2 - 432X - 125 = 0 ~</math>
Les deux racines de cette équation sont :
:<math>\begin{cases}
u^3 = \frac{8+3\sqrt{21}}{27} \\
v^3 = \frac{8-3\sqrt{21}}{27}
Compte tenue de la condition :
:<math>uv = -\frac{5}{9} ~</math>
on en déduit :
:<math>
\begin{cases}
u = \sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} \\
En reportant dans z = u + v, on obtient :
:<math>\begin{cases}
z_1 = \sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} \\
z_2 = j\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + j^2\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} \\
En reportant dans :
:<math>x = z + \frac{2}{3} ~</math>
On trouve finalement :
:<math>\begin{cases}
x_1 = \sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} + \frac{2}{3} \\
x_2 = j\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + j^2\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} + \frac{2}{3} \\
|