« Fonctions circulaires/Exercices/Problème d'optimisation » : différence entre les versions

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Ligne 68 :
Dans le triangle ABC on a :
 
:<math>\alpha+2(\beta+\frac{\pi}{6})=\pi</math>
 
De plus, <math>BC = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\,</math>
Ligne 74 :
Soit h la hauteur du triangle ABC issue de C, on a alors :
 
:<math>h=2\sin(\beta)sin(\frac{\alpha}{2})\,</math>
 
::<math>=2\sin(\beta)\sin(\frac{\pi}{2}-(\gamma+\beta))\,</math>
 
::<math>=2\sin(\beta)cos(\frac{\pi}{6}+\beta)\,</math>
 
 
Ligne 85 :
Dérivons <math>h\,</math> par rapport à <math>\beta\,</math> :
 
:<math>h'(\beta)=2\cos(\beta)\cos(\frac{\pi}{6}+\beta)-2\sin(\beta)\sin(\frac{\pi}{6}+\beta)</math>
 
D'après la formule <math>\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\,</math>
 
:<math>h'(\beta)=2\cos(2\beta+\frac{\pi}{6})\,</math>
 
<math>\beta+\frac{\pi}{6}</math> varie dans <math>]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>
Ligne 95 :
donc <math>\beta</math> varie dans
 
:<math>]-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}]=]-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3}\,</math>.
 
finalement <math>2\beta+\frac{\pi}{6}\,</math> varie dans <math>]-\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]</math>.
Ligne 101 :
Son cosinus s'annule donc pour :
 
:<math>2\beta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\,</math>
 
ou
 
:<math>2\beta+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}\,</math>
 
c'est-à-dire :
 
:<math>\beta=\frac{\pi}{6}\,</math>
 
ou
 
:<math>\beta=-\frac{\pi}{3}\,</math>
 
}}
Ligne 131 :
Les lois de la physique donnent en négligeant le frottement de l'air et la variation du champ de pesanteur :
 
:<math>y=\tan(\alpha)x-\frac{x^2}{5\cos(\alpha)^2}</math>
 
'''1.''' Calculer l'abscisse <math>c\,</math> du point de chute du projectile en fonction de <math>\alpha</math>.
Ligne 137 :
'''2.''' Calculer la dérivée <math>c'(\alpha)\,</math>
 
'''3.''' Simplifier cette dérivée avec la formule :<math>\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=\cos(2\alpha)\,</math>.
 
'''4.''' En déduire le tableau de variations de <math>c(\alpha)\,</math>.