« Espace préhilbertien réel/Projecteurs orthogonaux » : différence entre les versions
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Ligne 32 :
* <math>E=F\oplus F^\perp</math> donc
:<math>\begin{matrix} x&=&\underbrace{ p_F(x)}&+&\underbrace{ x-p_F(x) } \\ &&\in F&&\in F^\perp \end{matrix}</math>
:On applique le théorème de Pythagore : <math>||x||^2=||p_F(x)||^2+||x-p_F(x)||^2\,</math>, d'où <math>||p_F(x)||\leq ||x||</math>
:On a égalité ssi <math>||x-p_F(x)||^2=0\,</math> ssi <math>x=p_F(x)\,</math> ssi <math>x\in F</math>
* <math>y=p_F(y)+y-p_F(y)\,</math>
:<math>\langle p_F(x)|y\rangle = \langle p_F(x)|p_F(y)\rangle+\langle p_F(x)|y-p_F(y)\rangle=\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>
:<math>\langle x|p_F(y)\rangle = \langle p_F(x)|p_F(y)\rangle+\langle x-p_F(x)|p_F(y)\rangle=\langle p_F(x)|p_F(y)\rangle</math>}}
{{Propriété
| contenu =
Si F est de dimension ''n'', il existe une base e de ''n'' vecteurs de F.
:<math>\forall x\in E,~p_F(x)=\sum_{i=1}^n \langle e_i|x\rangle e_i</math>}}
{{Démonstration déroulante}}
Ligne 68 :
On note <math>(p_i)_{1\leq i \leq r}</math> la famille de projecteurs orthogonaux associés à cette décomposition, c'est-à-dire que <math>\forall i,~p_i</math> est le projecteur orthogonal sur F<sub>''i''</sub>.
:<math>{\rm Id}_E=\sum_{i=1}^r p_i</math>
:<math>\forall x\in E,~||x||^2=\sum_{i=1}^r ||p_i(x)||^2</math>
}}
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