Wikiversité

« Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique
← Modification précédenteModification suivante →
Contenu supprimé Contenu ajouté
VisuelWikicode
m Robot : Remplacement de texte automatisé (-\:*\<math\> +<math>)
m Robot : Remplacement de texte automatisé (-\mathbb\{([CNQRZ])\} +\1)
Ligne 15 :
| titre = Définition de l'exponentielle complexe
| contenu =
L'exponentielle complexe est définie et holomorphe sur <math>\mathbb{C}</math> par :
 
<math>\exp(z)=e^z=\sum_{m=0}^{\infty}{\frac{z^{m}}{m!}} \; ,z\in\mathbb {C}</math>
Ligne 25 :
Nous verrons plus loin pourquoi il est licite de développer et de définir l'exponentielle complexe en séries de puissances, puisque le rayon de convergence de cette série est infini.
 
{{Attention|Avec_fond=non|Contrairement à l'exponentielle réelle l'exponentielle complexe n'est pas injective dans <math>\mathbb{C}</math> puisque <math>e^z=e^{z+2ki\pi}\; k\in \mathbb{Z}</math>}}
 
Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans <math>\mathbb{C}</math> comme un logarithme dans <math>\mathbb{R}</math>
 
== Fonctions hyperboliques ==
 
Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à <math>\mathbb{C}</math> :
 
<math>ch(z)=\cosh(z)=\frac{e^z+e^{-z}}{2}</math>
Ligne 41 :
== Propriétés de l'exponentielle complexe ==
 
<math>\forall\; z,w\in \mathbb{C}</math> <br /><br />
 
# <math>\exp(z+w)=\exp(z)\exp(w) \;</math><br /><br />
# <math>\forall n \in \mathbb{Z}\; \exp(z)^n=\exp(nz)</math><br /><br />
# <math>\ |\exp(z)|=\exp(\mathfrak{Re}(z))</math><br /><br />
 
Ligne 55 :
| titre = Définition de la fonction argument
| contenu =
<math>\forall \; z=x+iy\; \in \mathbb{C}\backslash x \in]-\infty,0]</math> on a :
 
 
Ligne 63 :
}}
 
On constate que cette fonction Arg(''z'') n'est pas prolongeable continument aux <math>x \in]-\infty,0[</math>, car si elle était définie sur <math>\mathbb{C} \backslash 0</math>, on aurait un saut de <math>2\pi</math> et elle serait alors discontinue sur son ouvert de définition.
 
On appelle cette fonction '''détermination principale de l'argument'''.
Ligne 71 :
| titre = Définition du logarithme complexe
| contenu =
On définit sur <math>\Omega=\mathbb{C} \backslash \; ]-\infty,0]</math>
la fonction <math>Ln</math>, qu'on appellera '''détermination principale du logarithme complexe''' par :
 
<math>Ln : \Omega \rightarrow \mathbb{C}</math>
<math>Ln(z)= \ln(|z|)+i \, \mathrm{Arg} \left(z\right) \;</math>
 
Ligne 80 :
}}
 
Alors, <math>Log</math> est holomorphe sur <math>\Omega = \mathbb{C} \backslash \; ]-\infty,0]</math>.
 
{{Propriété |titre=Propriétés|contenu=
Ligne 87 :
# <math>(Ln)\,'(z)=\frac{1}{z}</math>,
# <math>e^{Ln(z)}=z</math>,
# <math>Ln(e^z)=z+2i\pi\mathbb{Z}</math> pour peu que <math>e^z \in \Omega</math>.
}}
==== Dérivées partielles du logarithme complexe ====
 
On note <math>z=x+yi</math>, pour <math>z \in \mathbb{C}</math>, on a :
 
: <math>\mathrm D_x(Ln(z))=\mathrm D_x(\ln(\sqrt{x^2+y^2})+i \mathrm D_x(\mathrm{Arg}(x+yi))=\frac{x}{x^2+y^2}+i \frac{-y}{x^2+y^2}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}</math>
Ligne 112 :
| titre = Puissance généralisée (<math>z^\alpha</math>)
| contenu =
Soit <math>\alpha \in \mathbb{C}</math> et <math>z \in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}^{-}</math>, on appelle '''puissance généralisée''' (ou '''détermination/branche principale''') de <math>z^\alpha</math> la fonction définie par : <math>z^\alpha=\exp(\alpha\, Log(z))</math>
}}
 
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonctions_d%27une_variable_complexe/Le_logarithme_complexe »