« Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy » : différence entre les versions

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Soit <math>r>0</math> tel que le chemin <math>\gamma_r=re^{it}+z_0\;, t \in [0,2\pi]</math> soit à valeurs dans
<math>\Omega</math> avec <math>|z-z_0|<r</math> et <math>n \in \mathbb{N}</math> alors:
 
# f est de classe <math>C_{\infty}</math> sur <math>\Omega</math>
# <math>D^{m}(f)</math> est holomorphe sur <math>\Omega</math> pour tout <math>m \in \mathbb{N} ,m\leq n</math>
# <math>
\frac{n!}{2i\pi}\int_{\gamma_r} \frac{f(u)}{(u-z)^{n+1}} \mathrm du=D^{n}(f(z))
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|titre=Inégalité de Cauchy|contenu=
 
Soit ''ƒ'' une fonction holomorphe dans un disque <math>D(z_{0},R)</math> alors <math>\forall \; n \in \mathbb{N} </math> et <math>\forall \;r=|z-z_{0}| ,\; r\leq R </math> on a : </br>
<math>\frac{D^{n}f(z_{0})}{n!} \leq \frac{M(r)}{r^{n}}</math> avec <math>M(r)=sup_{D(z_{0},R)} |f(z)|</math>
}}