« Fonctions circulaires/Exercices/Tangente » : différence entre les versions

'''4.''' Soit un réel <math>x \in \left]\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math>. Exprimez en fonction de tan(x) les réels suivants : <math>\tan(-x);\ \tan(\pi + x);\ \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right); \ \tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right); \ \tan(k\pi + x)</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math>

'''1.''' <math>\operatorname{f(x)}= \frac{\sin x}{\cos x}</math> donc f est définie si et seulement si <math>\cos x \ne 0</math> d'où <math>D_f = \mathbb{R} \backslash \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi; k \in \mathbb{Z}\right\}\,</math> que l'on peut noter <math>D_f = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left] \frac{- \pi}{2}+k \pi; \frac{\pi}{2}+k \pi \right]\,</math>.

:'''1.''' Pour tout <math>x \in D_f</math>, il existe <math>k \in \mathbb{Z}</math> tel que <math>\left( -\frac{\pi}{2} \right)+k \pi<x< \left( \frac{\pi}{2} \right)+k \pi</math> On a donc <math>\left(-\frac{\pi}{2}\right)+k \pi + \pi < x + \pi < \left(\frac{\pi}{2}\right)+k \pi + \pi</math> d'où <math>\left(-\frac{\pi}{2}\right)+k' \pi < x + \pi < \left(\frac{\pi}{2}\right)+k' \pi</math> où k'=k+1 (donc k'<math>\in \mathbb{Z}</math>). Ce qui prouve que <math>(x + \pi)\in \mathbb{Z}</math>

:'''2.'''La fonction f est π périodique (c'est-à-dire périodique de période pi). Géométriquement la courbe <math>\mathcal{C}_f</math> se répète dans des translations de vecteur <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math>

:'''3.'''Il suffit d'étudier f sur <math>\left]\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right[</math> (intervalle d'amplitude égale à 1 période soit pi) puis de translater la courbe obtenue par les translations de vecteur <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math>.

:'''2.''' Il suffirait juste d'étudier f sur <math>\left]0;\frac{\pi}{2}\right[</math> puis de construire le symétrique de la courbe obtenue par rapport à O et enfin de translater la nouvelle courbe obtenue par les translations des vecteurs <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \mathbb{Z}\,</math>

* <math>\tan(k\pi+x)=\tan x\,</math> pour tout <math>k \in \mathbb{Z}</math> (car tan est π-périodique)