« Fonctions d'une variable complexe/Théorèmes de Liouville et de Weierstrass » : différence entre les versions

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== Fonctions entières ==
Les fonctions entières sont les fonctions qui sont holomorphes sur <math>\mathbb{C}</math> telles que l'exponentielle complexe,les fonctions polynômes, les fonctions sinus et cosinus ainsi que les fonctions hyperboliques. Comme nous le verrons au prochain chapitre, ces fonctions sont des cas particuliers des fonctions analytiques ,c'est à dire des fonctions développables en série au voisinage d'un point de <math>\mathbb{C}</math>.
== Théorème de Liouville ==
Ce théorème permet de déterminer les fonctions holomorphes sur <math>\mathbb{C}</math> qui sont polynomiales, il permet aussi de montrer le théorème fondamental de l'algèbre avec une remarquable simplicité.
{{Théorème
|titre=Théorème de Liouville
|contenu=
Si <math> f</math> est holomorphe dans <math>\mathbb{C}</math> et si il existe <math>N \in \mathbb{N}</math> et <math>C>0</math> tels que: <math>|f(z)|\leq C(1+|z|)^{N} \; \; \forall z \in \mathbb{C}</math> </br>
alors <math>f</math> est un polynôme de degré inférieur ou égal à <math>N</math>
}}
== Principe du (module) maximum ==
Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de <math>\mathbb{C}</math> dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante. </br>
Il indique aussi que le module d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe réalise sa borne supérieure sur la forntière de l'adhérence de cet ouvert connexe.
{{Théorème
|titre=Principe du maximum
|contenu=
-Si <math>f</math> est holomorphe sur l'ouvert <math>\Omega \subset \mathbb{C}</math> connexe et si il existe <math>z_{0} \in \Omega</math> tel que <math>|f(z_{0})|\geq |f(z)| \; \; \forall z</math> dans un voisinage de <math>z_{0}</math> (<math>|f|</math> admet un maximum local dans <math>\Omega</math>) alors <math>f</math> est constante dans <math>\Omega</math>.</br>
-Si l'ouvert <math>\Omega </math> est borné et <math>f</math> dans <math>\Omega</math> et continue dans <math>\bar{\Omega}</math> (<math>\bar{\Omega}</math> désignant l'adhérence de <math>\Omega</math>) alors <math>sup_{\bar{\Omega}}|f|=sup_{\partial \Omega} |f|</math>
}}
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