« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions
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On définit donc la structure de base de la topologie : l'espace topologique, défini comme la donnée d'un ensemble <math>X</math>, et d'une topologie sur <math>X</math>, c'est-à-dire un ensemble de sous-ensembles de <math>X</math> vérifiant certaines propriétés, dont les éléments sont appelés ouverts. Intuitivement, un ouvert correspond à un ensemble qui ne contient pas sa « frontière ».
== Définition
{{ Définition
| titre = Définition : Espace topologique
| contenu =
Un espace topologique est un couple <math>(X, \mathcal{T})</math>, où <math>\mathcal{T}</math> est une partie de l'ensemble <math>\mathcal{P}(X)</math> des parties de <math>X</math>, vérifiant les trois propriétés :
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<math>\mathcal{T}</math> s'appelle la topologie associée à l'espace topologique <math>(X, \mathcal{T})</math>. La plupart du temps, la topologie est sous-entendue, si bien qu'on commettra l'abus de confondre <math>X</math> et <math>(X,\mathcal{T})</math>.
Les éléments de <math>\mathcal{T}</math> sont appelés les '''ouverts'''.
}}
{{ Définition
| titre = Définition : Fermés
| contenu =
Pour un espace topologique <math>(X, \mathcal{T})</math> donné, on appelle '''fermé''' de <math>X</math> toute partie qui est le complémentaire dans <math>X</math> d'un ouvert, c'est à dire d'un élément de <math>\mathcal{T}</math>.</br>
Ils vérifient donc les propriétés suivantes :
* Les ensembles <math>\emptyset</math> et <math>X</math> sont des fermés
* L'intersection d'une famille quelconque de fermés est fermée
* La réunion d'une famille finie de fermés est fermée
}}
Il est important de noter qu'une partie de <math>X</math> qui n'est pas ouverte, n'est pas fermée pour autant (et inversement). De plus, elle ne sont pas incompatibles : une partie de E peut être à la fois ouverte et fermée. Par exemple :
* Dans toute topologie, <math>X</math> et <math>\emptyset</math> sont tous deux des ouverts, et le complémentaire l'un de l'autre ; ils sont donc également fermés.
* Dans la topologie discrète (voir ci-dessous), le lecteur déduira aisément que toute partie de <math>X</math>, donc tout ouvert, est fermé.
== Exemples classiques d'espaces topologiques ==
{{Exemple
| titre = Exemple :
| contenu =
Tout ensemble E peut être muni de la topologie grossière : <math>\mathcal\Tau = \{\emptyset, E\}</math>. Il est facile de vérifier que cela définit bien une topologie. C'est celle qui contient le moins d'ouverts possible.
}}
{{Exemple
| titre = Exemple :
| contenu =
Tout ensemble E peut être muni de la topologie discrète : <math>\mathcal\Tau = \mathcal P(E)</math>. E est appelé espace discret. Dans ce cas, toutes les parties de E sont ouvertes : on dit que E est '''''discret'''''. Cela correspond intuitivement au cas où tous les points de E sont isolés et indépendants les uns des autres. En anticipant sur la suite, les seules suites convergentes dans un espace discret sont les suites stationnaires.
}}
{{Exemple
| titre = Exemple :
| contenu =
L'exemple suivant le plus intéressant est celui de l'ensemble <math>\mathbb R</math> des nombres réels. En effet, dans la construction des ensembles classiques de nombres, <math>\mathbb R</math> est le premier ensemble à être défini en utilisant des notions de topologie, en « complétant » <math>\mathbb Q</math>.
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{{Exemple
| titre = Exemple :
| contenu =
L'analyse fonctionnelle, quant à elle, a pour cadre les espaces fonctionnels, qui sont des espaces vectoriels de dimension infinie, munis d'une topologie. Ils sont de dimension infinie car ce sont généralement des ensembles de fonctions.
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