« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions
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* Dans toute topologie, <math>X</math> et <math>\emptyset</math> sont tous deux des ouverts, et le complémentaire l'un de l'autre ; ils sont donc également fermés.
* Dans la topologie discrète (voir ci-dessous), le lecteur déduira aisément que toute partie de <math>X</math>, donc tout ouvert, est fermé.
{{ Définition
| titre = Définition : Voisinage
| contenu =
Soit <math>(X, \mathcal{T})</math> un espace topologique, et soit <math>x</math> un élément de cet ensemble. On appelle '''voisinage''' de <math>x</math> toute partie contenant un ouvert, qui contient lui-même <math>x</math>. On peut aussi parler de voisinage d'une partie (non vide) de <math>X</math> (<math>x</math> est alors une partie non vide de <math>X</math> dans la définition précédente).</br>
Les voisinages respectent alors les propriétés suivantes ; on notera <math>\mathcal{V}(x)</math> l'ensemble des voisinages de <math>x</math>.
* <math>\mathcal{V}(x) \not = \emptyset</math> (car <math>X \in \mathcal{V}(x)</math>)
* L'intersection de deux éléments de <math>\mathcal{V}(x)</math> appartient à <math>\mathcal{V}(x)</math>
* <math>\emptyset\notin\mathcal V(x)</math>
* Soient <math>A</math> et <math>B</math> deux parties de <math>X</math>. Si <math>A</math> est un voisinage de <math>x</math> et est inclus dans <math>B</math>, alors <math>B</math> est aussi un voisinage de <math>x</math>
}}
Enfin, on notera qu'il est possible de définir une topologie à l'aide de la donnée des voisinages.
== Exemples classiques d'espaces topologiques ==
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