« Polynôme/Définitions » : différence entre les versions
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Un ''polynôme'' <math>P\,</math> est une '''somme de monômes'''.
<math>P\,</math> est alors de la forme : <math>P=a_n{X^n}+a_{n-1}{X^{n-1}}+...+a_2{X^2}+a_1{X}+a_0\,</math>
Soit <math>(a_0,a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n) \in \R^{n+1}</math>.<br />▼
▲<math>P\,</math> est alors de la forme : <math>P=a_n{X^n}+a_{n-1}{X^{n-1}}+...+a_2{X^2}+a_1{X}+a_0\,</math>.<br />
Son '''écriture réduite ordonnée''' est : <math>P= \sum_{i=0}^n a_i{X^i}</math>. Nous admettrons qu'elle est unique.
*
* <math>a_n{X^n}\,</math> est le '''terme de plus haut degré'''.
* <math>a_n\,</math> est le '''coefficient du terme de plus haut degré'''.
D'autres préfèrent écrire avec les indices dans l'autre sens, évidemment parce que cela a un intérêt :
Soit <math>(b_0,b_1,b_2,...,b_{n-1},b_n) \in \R^{n+1}</math>.<br /> et <math>P= b_n{x^0}+b_{n-1}{x^{1}}+...+b_2{x^{n-2}}+b_1{x^{n-1}}+b_0 {x^n}\,</math>.
▲<math>P= b_n{x^0}+b_{n-1}{x^{1}}+...+b_2{x^{n-2}}+b_1{x^{n-1}}+b_0 {x^n}\,</math>.<br />
▲* En voici la raison, du point de vue du physicien, souvent <math>b_0</math> est non nul et on ne considère que les polynômes moniques ( ce coefficient vaut 1 ), alors si la dimension de x est [L], la dimension de <math>b_k</math> est [ L^k], et cela est bien utile pour retenir certaines formules.
▲** Donnons un exemple : le discriminant de l'équation du troisième degré :
▲<center><math> X^3 + p X + q \,</math> </center>
▲vaut :
▲<center><math> \Delta = 4p^3+27q^2 \,</math> </center>
Cette expression est « homogène » et pertinente (p puissance impaire, et q, paire). Eût-on écrit 3p' et 2q', on aurait eu le « discrimant réduit » p'^3 + q'^2 , plus étudié chez les physiciens comme « plus naturel »(?).
Ensuite, il est facile de retrouver la théorie de Landau du changement de phase.( Il s'agit juste d'une translation du vocabulaire entre les deux disciplines ).
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