« Polynôme/Définitions » : différence entre les versions
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Ensuite, il est facile de retrouver la théorie de Landau du changement de phase.( Il s'agit juste d'une translation du vocabulaire entre les deux disciplines ).
== Structure de
{{Théorème
Ligne 130 :
* '''la multiplication d'un polynôme par un scalaire''' : <math>\lambda P = \sum_{k=0}^{n}(\lambda a_k) X^k\,</math>;
* '''le produit de deux polynômes''' : <math>PQ = \sum _{k=0}^n c_k X^k\,</math><br />
où <math>c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}\
* <math>(\mathbb K[X],+,
* <math>(\mathbb K[X],+,\times)</math> est un anneau (en plus, il est ''commutatif et intègre'').
}}
La définition du produit de deux polynômes n'est a priori pas intuitive (voir pour cela [[w:Produit de Cauchy]]). Elle repose pourtant sur l'utilisation habituelle de la distributivité :
{{Exemple
| contenu =
Soient <math>P = X^2-3X+1\,</math> et <math> Q = X^3-5X+4\,</math> dans <math>\mathbb R[X]\,</math>.<br />
En calculant <math>PQ\,</math> avec la disributivité, on trouve :
:<math>\begin{align}
PQ &= X^2(X^3-5X+4) -3X(X^3-5X+4) + 1(X^3 - 5X + 4) \\
Vérifions par exemple ce qui se passe pour <math>k = 4\,</math> dans la formule ci-dessus :<br />▼
&= X^5 - 5X^3 + 4X^2 - 3X^4 +15X^2 -12X +X^3 - 5X + 4 \\
<math>c_4 = \sum_{i=0}^4 a_i b_{4-i} = a_0 b_4 + a_1 b_3 + a_2b_2+a_3b_1+a_4b_0 = 1\times 0 +(-3)\times 1+ 1\times 0 + 0\times -5 +0\times 4 = -3\,</math> ,ce qui correspond au résultat ci-dessus.<br />▼
&= X^5 - 3X^4 -4X^3 -11X^2-17X+4\end{align}</math>
▲:<math>c_4 = \sum_{i=0}^4 a_i b_{4-i} = a_0 b_4 + a_1 b_3 + a_2b_2+a_3b_1+a_4b_0 = 1\times 0 +(-3)\times 1+ 1\times 0 + 0\times -5 +0\times 4 = -3\,</math>
ce qui correspond au résultat ci-dessus.
En fait, il suffit pour comprendre de remarquer que <math>a_iX^{i}\times b_{k-i}X^{k-i} = a_i b_{k-i}X^k\,</math> ,ce qui explique un peu la formule.
}}
{{Propriété
Les unités de <math>\mathbb K[X]\,</math> sont les polynômes constants non nuls (qui s'identifient avec leur constante), et donc :
}}
On remarque donc que <math>\mathbb K[X]\,</math> n'est pas un corps.
{{Démonstration
Soit <math>P\in (\mathbb K[X])^*\,</math> .Par définition, <math>P\,</math> est inversible, donc il existe <math>Q = P^{-1}\in \mathbb K[X]\,</math> tel que <math>PQ = 1\,</math> .<br />
Donc, en particulier <math>\deg P+\deg Q = \deg 1 = 0 \Rightarrow \deg P = \deg Q = 0\,</math> car les degrés sont des entiers naturels. On en déduit le résultat voulu.
}}
On note <math> \mathbb K_n[X]\,</math> l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à <math>n\,</math> (par convention, on pose <math>\deg 0 = -\infty < n\,</math> ).
{{Propriété
| titre = Propriété : Bases du
| contenu =
Alors, pour tout <math>n\,</math> , <math>(P_0, P_1,\ldots,P_n)\,</math> forme une base de <math> \mathbb K_n[X]\,</math>.
}}
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