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« Champ magnétique, magnétostatique/Dipôle magnétique » : différence entre les versions

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Ligne 33 :
}}
 
* On veut calculer le champ magnétique créé en un point M à grande distance de la spire :
** :<math>\overrightarrow{OM} = r \vec u_r</math>
** :<math>r>> \gg R~</math>
 
* Soit ''P'' un point courant de la spire, repéré par l'angle <math>\varphi</math> entre <math>\vec u_y</math> et <math>\overrightarrow{OP}</math>. Le champ magnétique créé en M par un élément <math>\mathrm d \vec l</math> de spire placé en P vaut :
:<math>\mathrm d\vec B(M) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \frac{\mathrm d \vec l \wedge \overrightarrow{PM}}{PM^3}</math>.
 
avec :
* :<math>\mathrm d \vec l = \mathrm d \overrightarrow{OP} = \mathrm d\varphi~
\begin{array}{|l}
0\\
Ligne 46 ⟶ 48 :
\end{array}
</math>
* :<math>\overrightarrow{PM} =\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}=~▼
 
▲* <math>\overrightarrow{PM} =\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OP}=~
\begin{array}{|l}
r \cos(\theta)\\
Ligne 53 ⟶ 54 :
-R \sin(\varphi)\\
\end{array}</math>
* :<math>PM^3=||\overrightarrow{PM}||^3=(R^2+r^2-2rR\sin(\theta) \cos(\varphi))^{\frac32}</math> donc <math>\frac1{PM^3}=\frac1{r^3} \left ( 1 -2\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) + \frac{R^2}{r^2} \right )^{-\frac32}</math>▼
 
En faisant un développement limité à l'ordre 1 en <math>\frac Rr</math>, on obtient <math>\frac 1{PM^3} \approx \frac1{r^3} \left ( 1 +3\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) \right )</math>:▼
▲* <math>PM^3=||\overrightarrow{PM}||^3=(R^2+r^2-2rR\sin(\theta) \cos(\varphi))^{\frac32}</math> donc <math>\frac1{PM^3}=\frac1{r^3} \left ( 1 -2\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) + \frac{R^2}{r^2} \right )^{-\frac32}</math>
:<math>\frac 1{PM^3} \approx \frac1{r^3} \left ( 1 +3\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) \right )</math>
 
▲En faisant un développement limité à l'ordre 1 en <math>\frac Rr</math>, on obtient <math>\frac 1{PM^3} \approx \frac1{r^3} \left ( 1 +3\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) \right )</math>
 
* On calcule le produit vectoriel :
:<math>\mathrm d \vec l \wedge \overrightarrow{PM} = \mathrm d \varphi~
\begin{array}{|l}
R^2 \sin^2(\varphi) + R^2 \cos^2(\varphi) - rR \cos(\varphi) \sin(\theta)\\
Ligne 66 ⟶ 67 :
\end{array}</math>
 
* On reprend l'expression de <math>\mathrm d \vec B(M)</math> :
:<math>▼
 
▲<math>
\begin{align}
\mathrm d \vec B(M) &= \frac{\mu_0 i ~\mathrm d \varphi}{4 \pi r^3} \left ( 1 +3\frac Rr \sin(\theta) \cos(\varphi) \right )~
Ligne 86 :
</math>
 
* Il est maintenant grand temps d'intégrer cette expression pour <math>\varphi</math> variant entre 0 et <math>2 \pi</math>. Sachant que :
** :<math>\int_0^{2\pi} \cos(\varphi)~ \mathrm d\varphi = \int_0^{2\pi} \sin(\varphi)~ \mathrm d\varphi = 0</math>
** :<math>\int_0^{2\pi} \cos(\varphi) \sin(\varphi)~ \mathrm d\varphi = 0</math>
** :<math>\int_0^{2\pi} \sin^2(\varphi)~ \mathrm d\varphi = \int_0^{2\pi} \cos^2(\varphi)~ \mathrm d\varphi = \pi</math>
 
Il vient ainsi :
 
:<math>
\begin{align}
\vec B(M)&=\frac{\mu_0 i}{4 \pi r^3}~
Ligne 114 :
\end{align}
</math>
 
 
[[Fichier:Magnetic ring dipole field lines.svg|thumb|Lignes de champ d'un dipôle magnétique|250px]]
{{Théorème
| titre = Champ magnétique dipolaire
| contenu=Dans un repère polaire, le champ magnétique dipolaire créé par une boucle de courant de moment magnétique <math>\mathfrak m</math> vaut
<math>\vec B(M)=\frac{\mu_0 \mathfrak m}{4\pi r^3} (2\cos(\theta) \vec u_r + \sin(\theta) \vec u_\theta)</math>
}}
 
 
Ligne 133 ⟶ 136 :
\mu_0 \mathfrak m&\displaystyle{\frac p{\varepsilon_0}}\\
\end{array}
</math>
}}
 
 
{{Attention|Avec_fond = oui|Il faut bien garder en tête que cette expression n'est qu'une '''approximation''' valable à '''grande distance du dipôle''' uniquement.}}
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