« Trigonométrie/Les formules de trigonométrie » : différence entre les versions

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Ligne 13 :
[[Fichier:Trigo somme 2 angles.svg|275px|thumb|Somme de deux angles dans le cercle trigonométrique.]]
Soient <math>a</math> et <math>b</math> deux réels. Dans un répère orthonormé <math>\scriptstyle (O;\vec i,\vec j)</math>, posons <math>A</math> et <math>B</math> les points du cercle trigonométrique tels que
<center>:<math>(\overline{\vec i,\overrightarrow{OA}}) = a</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;et&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>(\overline{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}) = b.</math></center>
Soit encore <math>A'</math> le point du cercle trigonométrique tel que
<center>:<math>(\overline{\vec i,\overrightarrow{OA'}}) = a + \frac{\pi}{2}.</math></center>
 
Alors :
<center>:<math>
\begin{align}
\overrightarrow{OA} &= \cos (a) \vec i + \sin (a) \vec j\\
Ligne 25 :
\overrightarrow{OB} &= \cos (a+b) \vec i + \sin (a+b) \vec j.
\end{align}
</math></center>
 
Mais dans le repère <math>\scriptstyle (O;\overrightarrow{\scriptstyle OA},\overrightarrow{\scriptstyle OA'})</math>,
<center>:<math>
\begin{align}
\overrightarrow{OB} &= \cos (b) \overrightarrow{OA} + \sin (b) \overrightarrow{OA'} \\
Ligne 35 :
&= (\cos a \cos b - \sin a \sin b) \vec i + (\sin a \cos b + \cos a \sin b) \vec j
\end{align}
</math></center>
 
 
<center>Or <math>\overrightarrow{OB} = \cos (a+b) \vec i + \sin (a+b) \vec j.</math></center>, d'où :
:<math>\cos (a+b) \vec i + \sin (a+b) \vec j = (\cos a \cos b - \sin a \sin b) \vec i + (\sin a \cos b + \cos a \sin b) \vec j</math>.
 
or
<center><math>\overrightarrow{OB} = \cos (a+b) \vec i + \sin (a+b) \vec j.</math></center>
 
Les composantes d'un vecteur étant uniques, nous pouvons identifier :
<center>:<math>
\begin{align}
\cos (a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b \\
\sin (a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b.
\end{align}
</math></center>
 
Ainsi,
<center>:<math>
\begin{align}
\cos (a-b) &= \cos (a+(-b)) \\
Ligne 58 ⟶ 60 :
&= \sin a \cos b - \cos a \sin b.
\end{align}
</math></center>
 
Enfin,
<center>:<math>
\begin{align}
\tan (a+b) &= \frac{\sin (a+b)}{\cos (a+b)} \\
Ligne 71 ⟶ 73 :
&= \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}. \\
\end{align}
</math></center>
 
== Les autres formules ==
Ligne 79 ⟶ 81 :
 
Les formulaires 4 et 5 s'obtiennent à partir du formulaire 1 :
<center>:<math>\displaystyle \cos (a+b) + \cos (a-b) = 2\cos a \cos b</math></center>
donc
<center>:<math>\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos (a+b) + \cos (a-b)]</math></center>
et, par un changement de variable, en posant <math>p = a+b</math> et <math>q = a-b</math>,
<center>:<math>\displaystyle \cos p + \cos q = 2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right).</math></center>
 
[[Catégorie:Trigonométrie]]