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« Conservation de la masse et équation de continuité » : différence entre les versions

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{{Leçon
== Forme globale ==
| idfaculté = sciences de l'ingénieur
| niveau =
| 1 = {{C|Forme globale|0|?}}
| 2 = {{C|Forme locale|0|?}}
= | 3 = {{C|Conséquence de l'équation de continuité ==|0|?}}▼
}}
 
[[Catégorie:Conservation de la masse et équation de continuité]]
La forme globale de la conservation de la masse s'applique sur le volume V de fluide "entier", ce qui explique l'utilisation de l'outil intégrale. On parle de "forme intégrale forte".
La masse m de ce volume V peut s'écrire:
 
<math> m(t) = \int\rho.dv </math>
 
Or le principe physique de la conservation de la masse au cours du temps implique:
 
<math> \frac{dm(t)}{dt} = 0 </math>
 
Il vient donc:
 
<math> \frac{d}{dt}\int\rho.dv = 0 </math>
 
Et d'après le Lemme de Leibniz, il vient finalement:
 
<math> \int\frac{d\rho}{dt}.dv + \int\rho. \overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}.dS = 0 </math>
 
== Forme locale ==
 
La forme locale de la conservation de la masse s'applique seulement sur un point M du volume V de fluide, ce qui explique l'utilisation de l'outil différentielle. On parle de forme intégrale faible.
 
On rappelle la forme intégrale forte:
 
<math> \int\frac{d\rho}{dt}.dv + \int\rho. \overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}.dS = 0 </math>
 
Cette écriture est constituée d'une intégrale sur un volume et d'une intégrale sur une surface. Cela peut ne pas être pratique.
Or, il existe un théorème permettant de transformer une intégrale double en intégrale triple et vice versa: le théorème de Green-Ostrogradski ou le théorème de flux-divergence:
 
<math> \int\rho. \overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}.dS = \int div(\rho\overrightarrow{v}).dv </math>
 
La forme intégrale forte peut donc s'écrire simplement sous une intégrale triple:
 
<math> \int(\frac{d\rho}{dt} + div(\rho\overrightarrow{v}))dv = 0 </math> (pour tout v)
 
On retrouve dans cette dernière expression le principe fondamental de la mécanique: la conservation de la vitesse pour tout volume V' sur V.
 
On rappelle que si Ax + By + Cx² = 0 est vrai pour tout (x,y), alors A = B = C = 0.
 
En appliquant cette règle à la forme intégrale forte, on obtient la forme intégrale faible ou forme locale:
 
<math> \frac{d\rho}{dt} + div(\rho\overrightarrow{v}) = 0 </math>
 
▲== Conséquence de l'équation de continuité ==
 
Nous allons appliqué ces équations pour des écoulements particuliers: les écoulements permanents et les écoulements incompressibles.
 
=== Cas d'un écoulement permanent ===
 
On rappelle qu'un écoulement permanent est un écoulement dont certaines grandeurs physiques ne dépendent pas du temps. L'expression des équations de continuité vont donc être simplifiées (on donne ci dessous la forme locale simplifiée, puis forme globale simplifiée).
 
<math> \frac{d{\rho}}{dt} = 0 \Rightarrow div(\rho\overrightarrow{v}) = 0 \Rightarrow \int\rho. \overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}.dS = 0 </math>
 
Soit un tube de courant dans lequel il y a un écoulement permanent. Le tube de courant ne change pas dans le temps. L'équation de continuité globale simplifiée permet d'écrire:
 
<math> \int_{surface.totale}\rho.\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}.dS = \int_{surface.entree}\rho.\overrightarrow{v_{entree}}.\overrightarrow{n_{entree}}.dS + \int_{surface.tube }\rho.\overrightarrow{v_{tube}}.\overrightarrow{n_{tube}}.dS + \int_{surface.sortie}\rho.\overrightarrow{v_{sortie}}.\overrightarrow{n_{sortie}}.dS = 0 </math>
 
Dans un écoulement permanent, la vitesse du fluide à l'intérieur du tube de courant est parallèle aux lignes de courant qui définissent le tube:
 
<math> \overrightarrow{v_{tube}}.\overrightarrow{n_{tube}} = 0 </math>
 
Il vient fianlement:
 
<math> \int_{surface.entree}\rho.\overrightarrow{v_{entree}}.\overrightarrow{n_{entree}}.dS + \int_{surface.sortie}\rho.\overrightarrow{v_{sortie}}.\overrightarrow{n_{sortie}}.dS = 0 \Rightarrow q_{m_{entree}} = q_{m_{sortie}} </math>
 
Dans un écoulement permanent, il y a conservation du débit massique.
 
=== Écoulement incompressible ===
 
Un écoulement incompressible est un écoulement dont le fluide possède une masse volumique constante. L'expression des équations de continuité vont donc être simplifiées (on donne ci dessous la forme locale simplifiée, puis forme globale simplifiée).
 
<math> \frac{d{\rho}}{dt} = 0 \Rightarrow div(\rho\overrightarrow{v}) = 0 \Rightarrow \rho\int\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}.dS = 0 \Rightarrow\int\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}.dS = 0 </math>
 
Soit un tube de courant dans lequel il y a un écoulement incompressible. Le tube de courant ne change pas dans le temps. L'équation de continuité globale simplifiée permet d'écrire:
 
<math> \int_{surface.totale}.\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}.dS = \int_{surface.entree}.\overrightarrow{v_{entree}}.\overrightarrow{n_{entree}}.dS + \int_{surface.tube }.\overrightarrow{v_{tube}}.\overrightarrow{n_{tube}}.dS + \int_{surface.sortie}.\overrightarrow{v_{sortie}}.\overrightarrow{n_{sortie}}.dS = 0 </math>
 
Dans un écoulement permanent, la vitesse du fluide à l'intérieur du tube de courant est parallèle aux lignes de courant qui définissent le tube:
 
<math> \overrightarrow{v_{tube}}.\overrightarrow{n_{tube}} = 0 </math>
 
Il vient fianlement:
 
<math> \int_{surface.entree}\overrightarrow{v_{entree}}.\overrightarrow{n_{entree}}.dS + \int_{surface.sortie}\overrightarrow{v_{sortie}}.\overrightarrow{n_{sortie}}.dS = 0 \Rightarrow q_{v_{entree}} = q_{v_{sortie}} </math>
 
Dans un écoulement permanent, il y a conservation du débit volumique.
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