« Intégrale double/Intégration de fonctions numériques sur un pavé quelconque » : différence entre les versions
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== Propriétés de base ==
La '''linéarité''' de l'intégrale double est claire, au vu des résultats précédents : <math>\iint (\lambda f + \mu g) = \lambda \iint f + \mu \iint g</math>.
{{Théorème
| contenu =
<math>\mathcal L^1(I \times J, \mathbb K)</math> est un sous-espace vectoriel de <math>\mathcal C(I \times J, \mathbb K)</math>, et sur <math>\mathcal L^1(I \times J, \mathbb K)</math> l'application <math>N_1</math> définit une norme.
}}
{{Proposition
| titre = Lemme
| contenu =
Soit <math>f</math> et <math>g</math> deux applications telles que <math>|f|^2</math> et <math>|g|^2</math> soient intégrables. Alors <math>f \cdot g</math> est intégrable.
}}
{{Démonstration déroulante
| contenu =
La continuité de <math>f \cdot g</math> étant claire, il suffit de remarque que :
:<math>0 \leq |fg| \leq \frac1{2}(|f|^2+|g|^2)</math>
pour conclure.
}}
{{Théorème
| contenu =
<math>\mathcal L^2(I \times J, \mathbb K)</math> est un sous-espace vectoriel de <math>\mathcal C(I \times J, \mathbb K)</math>, et l'application <math>(\cdot | \cdot)</math> est un produit scalaire qui fait de <math>\mathcal L^2(I \times J, \mathbb K)</math> un espace hermitien.
}}
{{Proposition
| contenu =
Si <math>f</math> est intégrable sur <math>I \times J</math>, alors <math>f</math> est aussi intégrable sur <math>\stackrel{\ \circ}{I} \times \stackrel{\ \circ}{J}</math> et :
:<math>\iint_{I \times J} f = \iint_{\stackrel{\ \circ}{I} \times \stackrel{\ \circ}{J}} f</math>.
}}
== Théorème de Fubini ==
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