« Fonctions homographiques/Étude » : différence entre les versions

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}}
 
===Étude des variations===
 
On pose : <math> f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} </math>.
 
===Fonction dérivée===
 
On se propose d'étudier le signe de la dérivée de <math>f</math> sur son ensemble de définition.
 
{{boîte déroulante|align=left|titre=Calcul de la dérivée|contenu=
Ligne 29 ⟶ 27 :
|contenu = Soit <math>f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} </math> une fonction homographique, alors sa fonction dérivée s'écrit : <br /> <math>f'(x) = \frac{ ad -cb}{(cx +d)^2}</math>
}}
 
===Signe de la dérivée===
 
On se propose d'étudier le signe de la dérivée de <math>f</math> sur: son<br ensemble de définition./>
{{boîte déroulante|align=left|titre= Étude du signe de <math>f'</math> |contenu = On sait que <math>f'(x)=\frac{ad - cb}{(cx + d)^2}</math>. Or, <math>(cx + d)^2</math> est une grandeur positive, donc : <math>\displaystyle sgn(f'(x))=sgn(ad - cb)</math> <br /> Or, <math>\displaystyle ad - cb</math> ne dépend pas de <math>\displaystyle x</math>, donc <math>\displaystyle f'(x)</math>est de signe constant sur <math>\mathbb{R} \setminus\left\{ \frac{-d}{c} \right\} </math><br />
 
et <math>\displaystyle \begin{cases} f'(x) >0, & \text{si }ad - cb >0 \\ f'(x)<0, & \text{si }ad - cb< 0 \end{cases}</math>
}}
<br />
{{Propriété |titre = Signe de la dérivée |contenu = Soit f une fonction homographique définie sur <math>D</math>, alors <math>f'(x)</math> est de signe constant sur <math>D</math> et :<br /><math>\displaystyle f'(x) >0, \text{ si } ad - cb >0</math> <br /><math>\displaystyle f'(x)<0, \text{ si } ad - cb < 0 </math>
}}
 
===Variations d'une fonction homographique===
 
On peut donc déduire du signe de <math>f'</math> les variations de <math>f</math>
 
{{Théorème |titre = Variations de <math>f</math> |contenu =
Soit <math>f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}</math> une fonction homographique définie sur <math>\mathbb{R} \setminus\left\{ \frac{-d}{c} \right\} </math>, alors : <br />
<math>\displaystyle \begin{cases} f(x) \text{ est croissante}, & \text{si }ad - cb >0 \\ f(x) \text{ est decroissante}, & \text{si }ad - cb< 0 \end{cases}</math>