« Fonctions homographiques/Étude » : différence entre les versions
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Ligne 2 :
{{Chapitre
| titre = Étude des fonctions homographiques
| numero = 2
| précédent = [[../Définition/]]
| suivant =
|
}}
== Étude des variations ==
On pose : <math>
=== Fonction dérivée ===
{{boîte déroulante|align=left|titre=Calcul de la dérivée|contenu=
On a <math>f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} </math>.
Or <math>\displaystyle u'(x)=a</math> et <math>\displaystyle v'(x)=c</math>, d'où :
:<math>f'(x) = \frac{a (cx + d) - c (ax + b)}{(cx + d)^2} = \frac{ ad -cb}{(cx +d)^2}</math>.
}}
|
|contenu = Soit <math>f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} </math> une fonction homographique, alors sa fonction dérivée s'écrit : <br /> <math>f'(x) = \frac{ ad -cb}{(cx +d)^2}</math>▼
| contenu =
▲
:<math>f'(x) = \frac{ ad -cb}{(cx +d)^2}</math>
}}
=== Signe de la dérivée ===
On se propose d'étudier le signe de la dérivée de <math>f</math>
{{Boîte déroulante
et <math>\displaystyle \begin{cases} f'(x) >0, & \text{si }ad - cb >0 \\ f'(x)<0, & \text{si }ad - cb< 0 \end{cases}</math>▼
| titre = Étude du signe de <math>f'</math>
| contenu =
On sait que <math>f'(x)=\frac{ad - cb}{(cx + d)^2}</math>. Or <math>(cx + d)^2</math> est une grandeur positive, donc : <math>sgn(f'(x))=sgn(ad - cb)</math>.
Or <math>ad - cb</math> ne dépend pas de <math>x</math>, donc <math>f'(x)</math> est de signe constant sur <math>\mathbb{R} \setminus\left\{ \frac{-d}{c} \right\}</math> et :
▲
}}
{{Propriété |titre = Signe de la dérivée |contenu = Soit f une fonction homographique définie sur <math>D</math>, alors <math>f'(x)</math> est de signe constant sur <math>D</math> et :<br /><math>\displaystyle f'(x) >0, \text{ si } ad - cb >0</math> <br /><math>\displaystyle f'(x)<0, \text{ si } ad - cb < 0 </math>▼
{{Propriété
| titre = Signe de la dérivée
| contenu =
▲
}}
=== Variations d'une fonction homographique ===
On peut donc déduire du signe de <math>f'</math> les variations de <math>f</math>.
{{Théorème
| titre = Variations de <math>f</math> | contenu = Soit <math>f
<math>\displaystyle \begin{cases} f(x) \text{ est croissante}, & \text{si }ad - cb >0 \\ f(x) \text{ est decroissante}, & \text{si }ad - cb< 0 \end{cases}</math>
}}
== Limites d'une fonction homographique ==
=== Calcul des limites ===
{{boîte déroulante|align=left|titre=Calcul des limites|contenu=
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