« Fonctions homographiques/Étude » : différence entre les versions
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Ligne 76 :
Il faut donc chercher le signe de <math>f</math> aux alentours de <math>\frac{-d}{c}</math> : <br />Or, <math>f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} = \frac{(ax + b)(cx + d)}{(cx +d)^2}</math> Or, <math>(cx + d)^2 \ge 0</math><br /><br />
Donc,<math>\displaystyle sgn(f(x))=sgn((ax +b)(cx + d))</math>. En posant <math>\displaystyle g(x) = (ax + b)(cx + d) = ac x^2 + (ab + cd)x + bd </math>, on obtient un polynôme du second degré, dont le signe va dépendre de l'ordre des racines et du signe de <math>ac</math>.<br /><br />'''''1°cas''''' :<br />Si <math>a</math> et <math>c</math> sont de même signe, alors, g(x) est négatif entre ses racines, il faut envisager deux cas : <br />
* Si <math>\frac{-b}{a} \le \frac{-d}{c}</math>, alors, <math>f(x) \le 0 </math> sur <math>\left[ \frac{-b}{a} : \frac{-d}{c} \right]</math> et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) </math> est négatif et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math><br />
* Si <math>\frac{-b}{a} \ge \frac{-d}{c}</math>, alors, <math>f(x) \le 0 </math> sur <math>\left[ \frac{-d}{c} : \frac{-b}{a} \right]</math> et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) </math> est négatif et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math><br />
'''''2° cas ''''':<br />
Si <math>a</math> et <math>c</math> sont de signes différents, alors <math>g(x)</math> est positif entre ses racines, et les deux configurations sont :<br />
* Si <math>\frac{-b}{a} \le \frac{-d}{c}</math>, alors, <math>f(x) \ge 0 </math> sur <math>\left[ \frac{-b}{a} : \frac{-d}{c} \right]</math> et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) </math> est positif et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math><br />
* Si <math>\frac{-b}{a} \ge \frac{-d}{c}</math>, alors, <math>f(x) \ge 0 </math> sur <math>\left[ \frac{-d}{c} : \frac{-b}{a} \right]</math> et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) </math> est positif et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>
}}
<br />
=== Limites d'une fonction homographique ===
{{Propriété |titre = Limites d'une fonction homographique |contenu = Soit <math>f(x)=\frac{ax + b}{cx + d}</math>, une fonction homographique définie sur <math>\mathbb{R} \setminus\left\{ \frac{-d}{c} \right\} </math>, alors : <br />
* <math>\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{a}{c} </math><br />
* Si <math>a</math> et <math>c</math> sont de même signe : <br /><math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>, si <math>\frac{-b}{a} \le \frac{-d}{c}</math><br />
<math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math>, si <math>\frac{-b}{a} \ge \frac{-d}{c}</math><br />
* Si <math>a</math> et <math>c</math> sont de signes différents : <br /><math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math>, si <math>\frac{-b}{a} \le \frac{-d}{c}</math><br />
<math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \ge \frac{-d}{c} } f(x) = +\infty</math>, et <math>\lim_{x \to \frac{-d}{c} \atop x \le \frac{-d}{c} } f(x) = -\infty</math>, si <math>\frac{-b}{a} \ge \frac{-d}{c}</math>
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