« Analyse vectorielle/Analyse vectorielle complexe » : différence entre les versions
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Ligne 11 :
Dans certains cas, on est amené à considérer des champs sous la forme de solutions harmoniques, qui sont commodes en notation complexe. En effet, toute fonction « suffisamment régulière » peut être décomposée en somme de telles solutions, d'après le théorème de Fourier. Les outils d'analyse vectorielle s'adaptent à cette description.
Pour l'exemple, nous traiterons ici le cas très général du champ électrique
== Notations et rappels ==
Ligne 17 :
Nous allons introduire les notations que nous utiliserons dans ce chapitre, à des fins simplificatrices. On suppose que le champ électrique est de la forme :
:<math>\
Avec ''E<sub>i</sub>'' des amplitudes de champs, <math>\omega</math> la pulsation de l'onde,
On introduit la notation complexe :
:<math>\mathcal E = \begin{pmatrix} E_{0,x} e^{i (\omega t - k_xx+ \phi_x)} \\ E_{0,y} e^{i (\omega t - k_yy + \phi_y)} \\ E_{0,z} e^{i(\omega t - k_zz + \phi_z)} \end{pmatrix}</math>
De sorte que le champ électrique véritable est la partie réelle de ce « vecteur complexe » :
:<math>\
On peut réécrire :
:<math>\mathcal E = \begin{pmatrix} E_{0,x} e^{i \phi_x} \\ E_{0,y} e^{i \phi_y} \\ E_{0,z} e^{i \phi_z} \end{pmatrix} e^{i (\omega t - \
Il est important à ce stade de noter que la quantité <math>\mathcal E_0</math> n'est pas élémentaire : il s'agit d'un vecteur dont les coordonnées sont des nombres complexes.
Ligne 40 :
On admet ici que le vecteur formel nabla prend dans l'espace de Fourier la forme suivante :
:<math>\nabla = -i \
On retrouve ainsi les expressions des opérateurs vectoriels :
* Divergence : <math>\mathrm{div} = - i \mathbf k \cdot</math>▼
*
* Laplacien : <math>\Delta = - k^2</math>▼
▲*
▲* Laplacien : <math>\Delta = - k^2 \!</math>
== Exemples ==
=== Exemple simple (relation de structure) ===
Commençons par un exemple simple. Supposons que le champ se propage selon la seule direction ''x'' dans le vide, alors d'après l'équation de Maxwell-Gauss :
:<math>\mathrm{div} \, \
Avec ce qui précède, la divergence du champ électrique est la partie réelle de :
:<math>\begin{align} -i k\
Ainsi, on a :
:<math>\Re \left( \
C'est-à-dire qu'à tout instant, le champ électrique est orthogonal à sa direction de propagation (cela est évident du point de vue des invariances, mais il est toujours bon de le vérifier).
=== Exemple moins simple (nombre d'onde) ===
Intéressons-nous plutôt à l'équation de propagation du champ électrique. En effet, on sait que, dans le vide :
:<math>\Delta \
Réécrivons cela à la lumière des outils développés dans ce chapitre :
<math>\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} = \Re \left( -\omega^2 \mathcal E \right)</math>▼
:<math>\
▲:<math>\
On a ainsi :
<math>\begin{align} -k^2 \mathcal E + \frac{1}{c^2} \omega^2 \mathcal E & = & 0 \\ -k^2 + \frac{\omega^2}{c^2} & = & 0 \\ k^2 & = & \frac{\omega^2}{c^2} \end{align}</math>▼
▲:<math>\begin{align} -k^2 \mathcal E + \frac{1}{c^2} \omega^2 \mathcal E & = & 0 \\ -k^2 + \frac{\omega^2}{c^2} & = & 0 \\ k^2 & = & \frac{\omega^2}{c^2} \end{align}</math>.
On retrouve la définition de ''k'' = ||'''k'''||, ce qui est rassurant.▼
▲On retrouve la définition de
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