« Statique des fluides/Exercices/Boite de conserve et mouette » : différence entre les versions

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Une boîte de conserve cylindrique de section A, retournée, flotte à la surface de la mer de densité d. Le poids de cette boîte de masse Mm est supporté par la pression de l'air comprimé à l'intérieur, qui obéit à l'équation des gaz parfaits (pV = K où K est une constante). Le sommet de la boîte dépasse l'eau d'une hauteur h. Une mouette vient se poser sur le fond de la boîte qui se trouve ainsi à affleurer le niveau de l'eau.

AN : A = 80 cm2cm², d= 1,03 g cm^-3, h = 5 cm, Mm = 160 g.

On définit la poussée d'Archimède dans chaque cas; : on fait le PFD sur le système : .

Dans le premier cas, et en négligeant la masse de l'air contenu dans la boite :

:<math> MP + M_P_{air}= \rho.A.h_1.g \Leftrightarrow m = \rho A h_1 \,!</math> ;

:<math> Mm + M_{air} + M_m_{mouette} = \rho .A .h_2 \,!</math>.

:<math> PVpV = nRT = K \,!</math> constante car la quantité de matière reste constante dans les deux cas, et la température aussi.

:<math> P_1p_1 V_1 = P_2p_2 V_2 \,!</math>,

Avec :<math> V_1 = ( h + h_1) A \,!</math> et <math> V_2 = h_2 A \,!</math>.

:<math> P_1p_1 ( h + h_1 ) = P_2p_2 h_2 \,!</math>

:<math> Pp(z) + \rho gz.g.z = cte \,!</math>,

:<math> P_1p_1 + \rho .g .h_1 = P_a \,!</math> ;

:<math> P_2p_2 + \rho .g .h_2 = P_a \,!</math>.

:<math> \begin{cases} Mm = \rho .A .h_1 \\ Mm + M_m_{mouette} = \rho .A .h_2\\ P_1 + \rho .g .h_1 = P_a\\ P_2 + \rho .g .h_2 = P_a\\P_1 ( h + h_1 ) = P_2 .h_2 \end{cases} \,</math>.

On résousrésout les équations :

:<math> h_1 = {M \over \rho A} = 1,942\ \mathrm{cm} \,!</math>,

:<math> P_1 = P_a - \rho .g .h_1 \,!</math>.

On trouve que les deux pressions ont des valeurs très proches. Il en est de même P2P₂ et PaP_a.

:<math> h + h_1 = h_2 \,!</math>.

On trouve alors, en remplaçant :

:<math> Mm + M_m_{mouette} = \rho .A .( h + {M \over \rho A })\,</math>.

:<math> M_m_{mouette} = \rho .A .h = 0,412\ \mathrm{kg} \,</math>