« Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale » : différence entre les versions
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Ligne 1 :
Étudier la nature de l'intégrale <math>\int_{1}^{+\infty} \frac{|sin(2 \pi t)|}{t}dt</math> et de la série <math>\sum_{k \ge 1} \frac{|sin(2 \pi k)|}{k}</math>.
Indication : Pour l'intégrale, vous pouvez penser à utiliser la décomposition <math>\int_{1}^{N} \frac{|sin(2 \pi t)|}{t}dt = \sum_{k=1}^{N-1} \int_{k}^{k+1} \frac{|sin(2 \pi t)|}{t}dt</math>
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
La somme <math>\sum_{k \ge 1} \frac{|sin(2 \pi k)|}{k} = 0</math> car <math>|sin(2 \pi k)| = 0</math> alors que <math>\int_{1}^{+\infty} \frac{|sin(2 \pi t)|}{t}dt \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{N \rightarrow +\infty} \int_{1}^{N} \frac{|sin(2 \pi t)|}{t}dt = +\infty</math>
La fonction <math>t \to \frac{|sin(2 \pi t)|}{t}</math> est bien positive sur <math>[1;+\infty[</math> mais elle n'est pas décroissante.
Soit N un entier ≥ 1 :
<math>\int_{1}^{N} \frac{|sin(2 \pi t)|}{t}dt = \sum_{k=1}^{N-1} \int_{k}^{k+1} \frac{|sin(2 \pi t)|}{t}dt\qquad (*)</math>
Si t est un réel tel que :
<math>k \le t \le k+1</math> alors on a <math>\frac{1}{k+1} \le t \le \frac{1}{k}</math>, d'où :
<math>\frac{|sin(2 \pi t)|}{k+1} \le \frac{|sin(2 \pi t)|}{t} \le \frac{|sin(2 \pi t)|}{k}</math>
On en déduit que : <math>\int_{k}^{k+1} \frac{|sin(2 \pi t)|}{t}dt \ge \frac{1}{k+1} \int_{k}^{k+1} |sin(2 \pi t)| dt</math>
<math>sin(2\pi t) = 0 \iff 2\pi t = k\pi,\ k \in \Z \iff t = \frac{k}{2},\ k \in \Z</math>
Donc :
<math>\int_{k}^{k+1} |sin(2 \pi t)|dt = 2 \int_{k}^{k+1} |sin(2 \pi t)|dt = 2 \int_{k}^{k+\tfrac{1}{2}} sin(2 \pi t)dt = 2 \left[ \frac{-cos(2\pi t)}{2\pi}\right]_{k}^{k+1} = \frac{2}{\pi}</math>
Or<math>\ (*) \ge \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k+1}</math> donc <math>\lim_{N \rightarrow +\infty} \int_{1}^{N}\frac{|sin(2 \pi t)|}{t}dt = +\infty</math>
}}
[[Catégorie:Séries numériques]]
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