« Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe » : différence entre les versions

On constate que cette fonction Arg(''z'') n'est pas prolongeable continument aux <math>x \in]-\infty,0[]</math>, car si elle était définie sur <math>\C \backslash 0</math>, on aurait un saut de <math>2\pi</math> et elle serait alors discontinue sur son ouvert de définition.

Alors, <math>LogLn</math> est holomorphe sur <math>\Omega = \C \backslash \; ]-\infty,0[</math>.

Ainsi <math>LogLn</math> est holomorphe, puisque :

<math>\mathrm D_x(LogLn(z))+i \mathrm D_y(LogLn(z))=\frac{x-yi}{x^2+y^2}+i\frac{y+xi}{x^2+y^2}=0</math>.

La dérivée de <math>LogLn</math> se calcule en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées :

<math>\mathrm D_x(LogLn(z))= \mathrm D_z(LogLn(z))\mathrm D_x(z)\,</math>.

Ce qui donne : <math>\mathrm D_z(LogLn(z))=\frac{\mathrm D_x(LogLn(z))}{\mathrm D_x(z)}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=\frac{\bar z}{\bar z z}=\frac{1}{z}</math>.

Soit <math>\alpha \in \C</math> et <math>z \in \C\backslash \R^{-}</math>, on appelle '''puissance généralisée''' (ou '''détermination/branche principale''') de <math>z^\alpha</math> la fonction définie par : <math>z^\alpha=\exp(\alpha\, LogLn(z))</math>