« Analyse vectorielle/Exercices/Opérateurs vectoriels » : différence entre les versions
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Ligne 13 :
Le gradient d'un champ scalaire f est défini de telle sorte que pour toute variation de coordonnées <math>\scriptstyle \mathrm d \overrightarrow{r}</math>, on ait :
:<math> \mathrm d f=\overrightarrow{\mathrm{grad}} f \cdot \mathrm d \overrightarrow{r} </math>.
=== Question 1 ===
Ligne 19 :
Exprimer <math>\scriptstyle \mathrm d \overrightarrow{r}</math> et <math>\scriptstyle \mathrm d f</math> dans un système de coordonnées cartésien. En déduire que le gradient s'écrit :
:<math> \overrightarrow{\mathrm{grad}} f= \frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+ \frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{e_y}+ \frac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{e_z} </math>.
{{Solution
Ligne 39 :
On pose :
:<math> \overrightarrow{\mathrm{grad}} f= X\overrightarrow{e_x}+ Y\overrightarrow{e_y} + Z\overrightarrow{e_z} </math>.
Il vient :
:<math> \mathrm d f=\overrightarrow{\mathrm{grad}} f
D'où :
:<math> \overrightarrow{\mathrm{grad}} f= \frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+ \frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{e_y}+ \frac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{e_z} </math>.
}}
Ligne 73 :
Ainsi, pour que :
: <math> \mathrm d f=\overrightarrow{\mathrm{grad}} f
il faut que :
:<math>\overrightarrow{\mathrm{grad}} f = \frac{\partial f}{\partial \rho}\overrightarrow{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\overrightarrow{e_\theta} + \frac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{e_z} </math>.
}}
Ligne 85 :
Montrer que les trois égalités suivantes sont vraies :
:'''1.a.''' <math> \Delta f = \overrightarrow{\nabla}
{{Solution
Ligne 105 :
En faisant le produit scalaire des deux, il vient logiquement :
:<math> \overrightarrow{\nabla}
}}
Ligne 120 :
f est un champ scalaire, ses dérivées secondes partielles croisées sont égales :
:<math> \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f }{\partial x \partial y} \Longleftrightarrow \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 f }{\partial x \partial y} = 0 </math>.
:<math> \overrightarrow{\nabla}\wedge(\overrightarrow{\nabla}f)= \overrightarrow{0} </math>
Ligne 126 :
}}
:'''1.c.'''<math> \overrightarrow{\nabla}
{{Solution
Ligne 156 :
Montrer, en développant les produits vectoriels sur la base <math>(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})</math>, que :
:<math> (\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{v})\wedge \overrightarrow{v} = (\overrightarrow{v}
{{Solution
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