« Transformée de Laplace en physique » : différence entre les versions
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Ligne 18 :
6) la résolution d'équations différentielles.
== Qu'appelle-t-on transformée de Laplace
Soit E une équation différentielle ordinaire que nous voulons résoudre, la variable dépendante étant <math> y=f(t) </math>, et formons l'intégrale suivante :
<math> F(s)= \textstyle\int\limits_0^\infty f(t) e^{-st}\
On appelle la fonction <math>F(s)</math> la transformée de Laplace de la fonction f
Cette fonction <math>F(s)</math> est souvent noté <math>\mathfrak{L}(
La transformée de Laplace inverse sera par ailleurs dénoté <math>\mathfrak{L}^{-1}</math> et vaut : <math>\mathfrak{L}^{-1}(F)=f(t)</math>.
=== Existence de la transformée de Laplace : ===
L'existence de la transformée de Laplace est conditionnée par la convergence de l'intégrale <math>\textstyle\int\limits_0^\infty f(t) e^{-st}\ dt </math>. Nous évitons la divergence de celle-ci d'une part si <math>f</math> est continue par morçeau et d'autre part s'il existe une quantité M telle que <math>\mid f(t) \mid<M e^{bt}</math>. Pourquoi ?
Exercice : montrer que si une telle fonction existe alors sa transformée de Laplace est bornée par le quotient <math>\frac{M}{s-b}</math>. Conclusion ?
Ainsi, on admettra malgré cette restriction que dans la plupart des systèmes physiques étudiés la transformée de Laplace existe. Mais souvenons nous que notre problème ne s'arrête pas là. Qu'en est-il de la transformée de Laplace inverse ?
Pour cela montrons que cette restriction sur <math>f </math> et donc l'existence de la transformée de Laplace ne permet pas toujours de résoudre notre équation différentielle E. En effet, le produit <math>s F(s)</math> est borné lorsque <math>s</math> tend vers l'infini. Il s'en suit naturellement que <math>\lim_{s\rightarrow\infty} F(s) = 0</math>. Autrement une fonction telle que <math>F(s)=1</math> ne convient pas.
Dans la suite de ce cours nous supposerons donc que notre fonction <math>f(t)</math> satisfait aux deux conditions :
* f est continue par morceau,
* <math>\mid f(t) \mid<M e^{bt}</math>.
=== Trois propriétés de la transformée de Laplace en exercice : ===
* La transformée de Laplace d'une fonction f est un opérateur linéaire. Preuve ?
* Montrer que <math>\mathfrak{L}[e^{at}f(t)]= F(s-a)</math>
* Si la transformée de Laplace d'une fonction f existe et est telle que <math>\mathfrak{L}[f]= F(s)</math>, et si de plus <math>g(t) =
\begin{cases}
f(t-a), & \mbox{if } t > a\\
0, & \mbox{if } t<a\\
\end{cases}</math>, alors la transformée de Laplace de g est <math>\mathfrak{L}[g]= e^{-at}F(s)</math>
=== Exemples pratiques de calcul de la transformée de Laplace ===
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