« Transformée de Laplace en physique » : différence entre les versions

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* le calcul algébrique, notamment les fractions rationnelles.
* le calcul différentiel et intégrale d'une fonction de la variable réelle, notamment la notion de convergence.
* les équation différentielles ordinaires.
 
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<math> F(s)= \textstyle\int\limits_0^\infty f(t) e^{-st}\ dt </math>
 
On appelle transformée de Laplace de f la fonction <math>F(s)</math> la transformée de Laplace de la fonction f.
 
Cette fonction <math>F(s)</math> est souvent noténotée <math>\mathfrak{L}(f)</math> où le caractère <math>\mathfrak{L}</math> dénote l'opérateur de Laplace.
 
La transformée de Laplace inverse sera par ailleurs dénotédénotée <math>\mathfrak{L}^{-1}</math> et vaut : <math>\mathfrak{L}^{-1}(F)=f(t)</math>.
 
=== Existence de la transformée de Laplace : ===
 
L'existence de la transformée de Laplace est conditionnée par la convergence de l'intégrale <math>\textstyle\int\limits_0^\infty f(t) e^{-st}\ dt </math>. Pourquoi ? Nous évitons la divergence de celle-ci d'une part si <math>f</math> est continue par morçeau et d'autre part s'il existe une quantité M telle que <math>\mid f(t) \mid<M e^{bt}</math>. Pourquoi ?
 
Exercice : montrer que si une telle fonction existe alors sa transformée de Laplace est bornée par le quotient <math>\frac{M}{s-b}</math>. Conclusion ?
 
Ainsi, on admettra malgré cette restriction que dans la plupart des systèmes physiques étudiés la transformée de Laplace existe. Mais souvenons nous que notre problème ne s'arrête pas là. Qu'en est-il de la transformée de Laplace inverse ?
 
Pour celarépondre à cette question, montrons que cette restriction sur <math>f </math> et donc l'existence de la transformée de Laplace ne permet pas toujours de résoudregarantir notreun équationretour différentielleà Ela fonction f. En effet, le produit <math>s F(s)</math> est borné lorsque <math>s</math> tend vers l'infini. Il s'en suit naturellement que <math>\lim_{s\rightarrow\infty} F(s) = 0</math>. Autrement dit, une fonction telle que <math>F(s)=1</math> ne convient pas.
 
Dans la suite de ce cours nous supposerons donc que notre fonction <math>f(t)</math> satisfait aux deux conditions :