« Transformée de Laplace en physique » : différence entre les versions
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Ligne 57 :
* La transformée de Laplace d'une fonction f est un opérateur linéaire. Preuve ?
* Montrer que <math>\mathfrak{L}[e^{at}f(t)]= F(s-a)</math> . Cette propriété est appelée translation en s.
* Si la transformée de Laplace d'une fonction f existe et est telle que <math>\mathfrak{L}[f]= F(s)</math>, et si de plus <math>g(t) =
\begin{cases}
f(t-a), & \mbox{si } t > a\\
0, & \mbox{si } t<a\\
\end{cases}</math>, alors la transformée de Laplace de g est <math>\mathfrak{L}[g]= e^{-at}F(s)</math>.
=== Exemples pratiques de calcul de la transformée de Laplace ===
Ligne 73 :
0, & \mbox{si } t<0\\
\end{cases}</math>
Utilisant la définition de la transformée de Laplace, nous trouvons évidemment :
<math>\mathfrak{L}[u_0]= \textstyle\int\limits_{-\infty}^\infty u_0(t) e^{-st}\ dt = \textstyle\int\limits_0^\infty e^{-st}\ dt = \frac{1}{s}</math>
Montrer que <math>\mathfrak{L}[1]=\frac{1}{s}</math>.
* Soit la fonction exponentielle <math>f(t)=e^{at}</math> et employons la propriété de translation en s :
<math>\mathfrak{L}[e^{at}]=F(s-a)</math> montre que <math>F(s) =\frac{1}\{s}</math>. Or par simple substitution s par <math>s-a</math>, on en conclut que <math>\mathfrak{L}[e^{at}]=\frac{1}{s-a}</math>
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