Wikiversité

« Transformée de Laplace en physique » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique
← Modification précédenteModification suivante →
Contenu supprimé Contenu ajouté
VisuelWikicode
Frenchem67 (discussion | contributions)
79 modifications
Aucun résumé des modifications
maintenance
Ligne 1 :
{{Leçon
\textstyle{{ébauche physique}}
| idfaculté = physique
 
| département = Outils mathématiques et informatiques pour la physique
== Introduction : ==
| niveau =
 
| 1 = {{C|Introduction|0|?}}
La transformée de Laplace, du nom de son inventeur, est d'une précieuse aide technique à la résolution des équation différentielles linéaires non homogènes qui résultent de la modélisation des systèmes impliquant des fonctions périodiques non continues.
= | 2 = {{C|Qu'appelle-t-on transformée de Laplace ? ==|0|?}}▼
 
}}
C'est principalement dans cette perspective que ce cours s'oriente :
 
La technique générale de résolution d'une équation différentielle à l'aide de la transformée de Laplace s'effectue en effectuant la transformée de chacun des membres de l'équation, puis la résolution de l'équation algébrique résultante, et enfin en résolvant le problème inverse.
 
Nous allons voir dans ce cours les points suivants :
 
1) la transformée de Laplace,
2) ses relations avec les dérivées et les intégrales,
3) le cas des fonctions périodiques,
4) le problème de la transformée de Laplace inverse,
5) un théorème de convolution,
6) la résolution d'équations différentielles.
 
Pour suivre dans ce cours, il est nécessaire de connaitre :
 
* le calcul algébrique, notamment les fractions rationnelles.
* le calcul différentiel et intégrale d'une fonction de la variable réelle, notamment la notion de convergence.
* les équation différentielles ordinaires.
 
Ce cours se veut intuitif et pratique. Il est parsemé de questions et exercices
afin d'engager le lecteur attentif. Une série de TD sera disponible à la fin du cours.
 
▲== Qu'appelle-t-on transformée de Laplace ? ==
 
Soit E une équation différentielle ordinaire que nous voulons résoudre, la variable dépendante étant <math> y=f(t) </math>, et formons l'intégrale suivante :
 
<math> F(s)= \textstyle\int\limits_0^\infty f(t) e^{-st}\ dt </math>
 
On appelle transformée de Laplace de f la fonction <math>F(s)</math> .
 
Cette fonction <math>F(s)</math> est souvent notée <math>\mathfrak{L}(f)</math> où le caractère <math>\mathfrak{L}</math> dénote l'opérateur de Laplace.
 
La transformée de Laplace inverse sera par ailleurs dénotée <math>\mathfrak{L}^{-1}</math> et vaut : <math>\mathfrak{L}^{-1}(F)=f(t)</math>.
 
=== Existence de la transformée de Laplace : ===
 
L'existence de la transformée de Laplace est conditionnée par la convergence de l'intégrale <math>\textstyle\int\limits_0^\infty f(t) e^{-st}\ dt </math>. Pourquoi ? Nous évitons la divergence de celle-ci d'une part si <math>f</math> est continue par morçeau et d'autre part s'il existe une quantité M telle que <math>\mid f(t) \mid<M e^{bt}</math>.
 
Exercice : montrer que si une telle fonction existe alors sa transformée de Laplace est bornée par le quotient <math>\frac{M}{s-b}</math>. Conclusion ?
 
Ainsi, on admettra malgré cette restriction que dans la plupart des systèmes physiques étudiés la transformée de Laplace existe. Mais souvenons nous que notre problème ne s'arrête pas là. Qu'en est-il de la transformée de Laplace inverse ?
 
Pour répondre à cette question, montrons que cette restriction sur <math>f </math> et donc l'existence de la transformée de Laplace ne permet pas toujours de garantir un retour à la fonction f. En effet, le produit <math>s F(s)</math> est borné lorsque <math>s</math> tend vers l'infini. Il s'en suit naturellement que <math>\lim_{s\rightarrow\infty} F(s) = 0</math>. Autrement dit, une fonction telle que <math>F(s)=1</math> ne convient pas.
 
Dans la suite de ce cours nous supposerons donc que notre fonction <math>f(t)</math> satisfait aux deux conditions :
 
* f est continue par morceau,
* <math>\mid f(t) \mid<M e^{bt}</math>.
 
=== Trois propriétés de la transformée de Laplace en exercice : ===
 
* La transformée de Laplace d'une fonction f est un opérateur linéaire. Preuve ?
* Montrer que <math>\mathfrak{L}[e^{at}f(t)]= F(s-a)</math> . Cette propriété est appelée translation en s.
* Si la transformée de Laplace d'une fonction f existe et est telle que <math>\mathfrak{L}[f]= F(s)</math>, et si de plus <math>g(t) =
\begin{cases}
f(t-a), & \mbox{si } t > a\\
0, & \mbox{si } t<a\\
\end{cases}</math>, alors la transformée de Laplace de g est <math>\mathfrak{L}[g]= e^{-at}F(s)</math>. Cette Cette propriété est appelée translation en t.
 
=== Exemples pratiques de calcul de la transformée de Laplace ===
 
Avec l'aide de ces trois propriétés, nous allons procéder au calcul des transformées de Laplace de fonctions classiques.
 
* Soit la fonction échelon unité de Heaviside <math>u_0(t) =
\begin{cases}
1, & \mbox{si } t > 0\\
0, & \mbox{si } t<0\\
\end{cases}</math>
Utilisant la définition de la transformée de Laplace, nous trouvons évidemment :
<math>\mathfrak{L}[u_0]= \textstyle\int\limits_{-\infty}^\infty u_0(t) e^{-st}\ dt = \textstyle\int\limits_0^\infty e^{-st}\ dt = \frac{1}{s}</math>
 
Exercice : montrer que <math>\mathfrak{L}[1]=\frac{1}{s}</math>.
 
* Soit la fonction exponentielle <math>f(t)=e^{at}</math> et employons la propriété de translation en s :
 
<math>\mathfrak{L}[e^{at}]=F(s-a)</math> montre que <math>F(s) =\frac{1}{s}</math>. Or par simple substitution de s par <math>s-a</math>, on en conclut que <math>\mathfrak{L}[e^{at}]=\frac{1}{s-a}</math>
 
Exercice : en utilisant la propriété de translation dans le temps, montrer que la fonction échelon unité <math>u_a(t) =
\begin{cases}
1, & \mbox{si } t > a\\
0, & \mbox{si } t<a\\
\end{cases}</math> a pour transformée de Laplace <math>\mathfrak{L}[u_a]=\frac{1}{s} e^{-as}</math>
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Transformée_de_Laplace_en_physique »