« Théorie des groupes/Théorèmes de Sylow » : différence entre les versions

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| titre = Premier théorème de Sylow
| contenu =
:Si ''G'' est un groupe de cardinal ''n'', et ''m'' est la valuation ''p''-adique de ''n'', alors il existe un sous-groupe de ''G'' de cardinal ''p<sup>m</sup>''. De tels sous-groupes sont appelés '''sous-groupes de Sylow'''.
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| titre = Lemme
| contenu =
:'''Lemme :''' Sous les notations du premier théorème de Sylow, si ''H'' est un sous-groupe de ''G'', et si ''S'' est un ''p''-Sylow de ''G'', alors il existe un sous-groupe conjugué à ''S'' intersectant ''H'' en un ''p''-Sylow de ''H''.
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{{Démonstration déroulante
| titre = Preuve du lemme
| contenu =
Écrivons l'équation aux classes pour l'action de ''H'' sur ''G''/''S'' par translation à gauche. Le stabilisateur d'une classe ''a''·''S'' est <math>\scriptstyle aSa^{-1}\cap H</math>, qui est un ''p''-groupe, comme sous-groupe de ''S''. L'équation aux classes donne :
:<math>\mathrm{Card}(G/S)=\sum_{x\in X} \frac{\mathrm{Card}(H)}{\mathrm{Card}(xSx^{-1}\cap H)}</math>
où la somme porte sur un ensemble de représentants des orbites. Comme ''S'' est un ''p''-Sylow de ''G'', ''p'' ne divise pas le cardinal de ''G''/''S'' ; il existe donc au moins un représentant <math>\scriptstyle x\in X</math> pour lequel ''p'' ne divise pas <math>\scriptstyle \mathrm{Card}(H)/\mathrm{Card}(xSx^{-1}\cap H)</math>. Autrement dit, la valuation ''p''-adique du cardinal de ''H'' est la valuation ''p''-adique du cardinal de <math>\scriptstyle xSx^{-1}\cap H</math>. Comme <math>\scriptstyle xSx^{-1}\cap H</math> est ''p''-sous-groupe de ''H'', c'est un ''p''-Sylow de ''H'', d'où le résultat.
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