« Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes homographiques » : différence entre les versions
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== Suite récurrente homographique réelle ==
On considère une suite définie par une relation de récurrence :
Ligne 19 :
:<math>f(t)=\frac{at+b}{ct+d}</math>
== Changement de variable pour rendre la suite géométrique ==
=== Passage en coordonnées projectives ===
On appelle ''droite projective'' l'ensemble quotient du plan muni d'un repère par la relation d'équivalence :
Ligne 57 :
:<math>f(t)=t=\frac{\lambda x}{\lambda y}</math>
=== Cas où F est diagonalisable ===
Dans le repère de départ, F a pour matrice :
Ligne 70 :
où
* P est la matrice de passage de l'ancienne base à celle des vecteurs propres (ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres dans l'ancienne base).
U est le vecteur colonne des coordonnées dans l'ancienne base.
V est le vecteur colonne des coordonnées dans la base des vecteurs propres.
Ligne 86 :
:<math>v'=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}v</math>.
=== Retour à la suite récurrente ===
En adoptant les mêmes notations,
Ligne 104 :
on obtient une suite géométrique <math>v_{n}\,</math>.
=== Avec les points fixes ===
De plus en choisissant le premier vecteur propre de seconde coordonnée 1, et le second vecteur propre de seconde coordonnée -1, on aura :
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