« Fonction exponentielle/Exercices/Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant » : différence entre les versions

| contenu = On prend le <math>\ln\,</math> pour faire « descendre » l’exposant.

 

 

== Équations ==

 

Existe-t-il un entier ''n'' tel que <math>3^n=14348907\,</math> ?

En remarquant que <math>3^n = e^{ (n \times \ln 3 ) } </math>, il vient <math> n \times \ln 3 = \ln 14348907 </math>.

 

 

=== Exercice 2 ===

Résoudre dans <math>\R</math> l'équation <math>(E_1)~:~3^x=19683\,</math> d'inconnue ''x''.

 

On prend le <math>\ln\,</math> des deux membres <math>(E_1) \Leftrightarrow \ln(3^x)=\ln(19683)

\Leftrightarrow x~\ln(3)=\ln(19683)</math>.

 

Or <math>19683=3^9\,</math> donc <math>\ln(19683)=\ln(3^9)=9~\ln(3)</math>

 

 

=== Exercice ===

Résoudre dans <math>\R</math> l'équation <math>(E_3)~:~5\cdot(2,5)^x=411111</math> d'inconnue ''x''.

 

Pour pouvoir résoudre cette équation, nous allons réécrire la puissance sous sa forme exponentielle :

<math>~5\cdot(2,5)^x=5\exp\left[x\,\ln(2,5)\right]</math>

 

On prend le logarithme des deux parties de l'équation à résoudre (411111 étant un nombre positif et non-nul) :

<math>\begin{align}

(E_3)&\Leftrightarrow 5\exp\left[x\,\ln(2,5)\right]=411111\\

\end{align}</math>

 

 

=== Exercice ===

 

Résoudre l'inéquation <math>I_1~:~(1,5)^x>15678</math> d'inconnue <math>x\in \R</math>.

 

''ln'' est croissante, on peut donc prendre le ''ln'' de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

<math>I_1 \Leftrightarrow x >\frac{\ln(15678)}{\ln(1,5)}\approx23,8\pm0,1</math>

 

 

=== Exercice ===

Résoudre l'inéquation <math>(I_2)~:~(0,7)^x>0,000006</math> d'inconnue <math>x\in\R</math>.

 

''ln'' est croissante, on peut donc prendre le ''ln'' de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

<math>I_2\Leftrightarrow x <\frac{\ln(0,000006)}{\ln(0,7)}\approx33,7\pm0,1</math>

 

 

=== Exercice ===

Résoudre l'inéquation <math>(I_3)~:~5^x<2,105647</math> d'inconnue <math>x\in\R</math>.

 

''ln'' est croissante, on peut donc prendre le ''ln'' de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

<math>I_3 \Leftrightarrow x<\frac{\ln(2,105647)}{\ln(5)}\approx0,46\pm0,01</math>

 

 

=== Exercice ===

Résoudre l'inéquation <math>(I_4)~:~\left(\frac35\right)^x<0,000003</math> d'inconnue <math>x\in\R</math>.

 

''ln'' est croissante, on peut donc prendre le ''ln'' de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :

<math>I_2\Leftrightarrow x>\frac{\ln(0,000003)}{\ln\left(\frac35\right)}\approx24,9\pm0,1</math>

 

 

=== Exercice ===

 

Deux capitaux sont placés simultanément à intérêts composés : le premier de 35000 € à 12 % l’an, le second de 40000 € à 9 % l’an. Calculer le nombre d’années à partir duquel le premier placement dépassera le second.

Au terme de l'année ''i'', les placements vaudront :

* <math>C_1(i)=35\,000 \cdot 1,12^i</math> pour le premier placement

 

Soit <math>i\in\N</math>

<math>\begin{align}

C_1(i)\geq C_2(i) &\Leftrightarrow 35\,000 \cdot 1,12^i \geq 40\,000 \cdot 1,09^i\\

On a <math>\frac{\ln\left(\frac87\right)}{\ln\left(\frac{1,12}{1,09}\right)}\approx 4,92</math>

 

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