« Systèmes de Cramer/Pivot de Gauss » : différence entre les versions

{{Attention|Il y a un ''ordre précis'' dans le choix du pivot. Ne pas le respecter peut amener à des résultats aberrants.}}
 
Il existe une variante : une fois le système ''étagé'', on repart à partir de la dernière ligne pour éliminer les termes en ''z'', puis de l'avant dernière pour éliminer les termes en ''y'' ''etc.'' on aboutit ainsi à un système ''diagonal'', dont les solutions sont immédiates. C'est ce qu'il faut faire lors du calcul de l'inverse d'une matrice.
La méthode du pivot de Gauss permet également de calculer le rang, l'inverse et le déterminant d'une matrice. Sa complexité est en <math>O\left(n^3\right)</math>, ce qui en fait un algorithme plus efficace que la méthode de Cramer, plus général que celle-ci. Néanmoins, il ne s'agit pas du « meilleur algorithme envisageable » : on pense qu'un tel algorithme atteindrait une complexité proche de <math>O \left( n^2 \right)</math>. Nous avons évoqué plus haut la faible précision de cet algorithme — en réalité, dans certains contextes, il est possible d'obtenir une précision ''exacte'' — mais ce n'est pas avec des nombres réels !
 
Cette notion de complexité signifie que, si on tente de résoudre un système de ''n'' équations à ''n'' inconnues, il faut effectuer de l'ordre de ''n³'' opérations. Dans notre exemple, ''n = 3'' — il faut tout de même effectuer de l'ordre de 27 opérations.
 
Il existe une variante : une fois le système ''étagé'', on repart à partir de la dernière ligne pour éliminer les termes en ''z'', puis de l'avant dernière pour éliminer les termes en ''y'' ''etc.'' on aboutit ainsi à un système ''diagonal'', dont les solutions sont immédiates. C'est ce qu'il faut faire lors du calcul de l'inverse d'une matrice.
 
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