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Ligne 21 :
Ceci sera maintenu dans la suite du problème (partie 3).
<li> Soumise
La liaison en O étant supposée parfaite, la réaction d'axe en <math>O</math> se limite à une force <math>\overrightarrow{R}</math> agissant en <math>O</math>. <br />
Établir les expressions de l'énergie cinétique <math>E_c</math> et de l'énergie potentielle de pesanteur <math>E_p</math>, du solide en fonction de <math>m</math>, <math>l</math>, <math>\left( \frac{d\theta}{dt} \right)</math> et <math>g</math>.
<li> Justifier le fait que l'énergie totale est constante au cours du mouvement; en déduire l'équation différentielle pour la variable <math>\theta</math>.
<li> La tige étant lâchée sans vitesse initiale avec <math>\theta(0) = \theta_0 = 0,1 {\rm rad}</math> ce qui correspond à des petits mouvements, simplifier puis résoudre l'équation obtenue à la question 1.3.; en particulier, exprimer puis calculer la valeur de la pulsation du mouvement obtenu, pulsation notée <math>\omega_1</math>. <br />
A.N. <math>l = \left( \frac{20}{9} \right) {\rm m} \approx 2,22 {\rm m}</math>
</ol>
</ol>
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<center>'''Schéma n<sup>o</sup>1'''</center>
Ligne 40 :
Elle comporte un évidement dont l'intérêt apparaîtra à la partie 3.
La liaison guides-plateforme est supposée parfaite.
Cette plateforme est solidaire de l'une des extrémités d'un ressort de raideur <math>K</math>, l'autre extrémité du ressort étant fixée au point <math>O'</math>. On repère la position de la plateforme par l'abscisse <math>x</math> du point <math>O</math>, soit
La longueur au repos du ressort étant <math>l_0</math>, à l'équilibre, cette abscisse vaut donc <math>x_0 = l_0 + d</math>, <math>2d</math> désignant la longueur de la plateforme (voir schéma n<sup>o</sup>3).
On écarte le point <math>O</math> de sa position d'équilibre d'une quantité <math>X_0</math> et on lâche la plateforme sans vitesse initiale.
Ligne 57 :
</ol>
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<center>'''Schéma n<sup>o</sup>2'''</center>
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<center>'''Schéma n<sup>o</sup>3'''</center>
Ligne 88 :
<li> Par application du théorème de la résultante cinétique à la plateforme, en projection sur l'axe des <math>x</math>, écrire une équation différentielle faisant intervenir <math>\left( \frac{d^2X}{dt^2} \right)</math>, <math>X</math>, <math>\theta</math>, <math>\left( \frac{d\theta}{dt} \right)</math> et <math>\left( \frac{d^2\theta}{dt^2} \right)</math>.
<li> Montrer que, dans l'hypothèse des petits mouvements, l'égalité obtenue peut se mettre sous la forme : <math>\frac{d^2}{dt} \left(\frac{X}{l} \right) + \omega_2^2 \frac{X}{l} = -\beta \frac{d^2\theta}{dt^2}</math> (équation II). <br />
Expliciter les expressions de la pulsation <math>\omega_2</math> et du coefficient <math>\beta</math>.
<li> On donne : <math>m= 4,5 {\rm kg}</math>; <math>M = 1,5 {\rm kg}</math>; <math>K = 24 {\rm N\cdot m^{-1}}</math>. <br />
Calculer les valeurs numériques de <math>\omega_2^2</math> et du produit <math>\alpha\beta</math>.
Ligne 97 :
<math>\Omega = 2\sqrt{3} {\rm rad\cdot s^{-1}}</math> sont possibles (pour ce calcul, on pourra prendre <math>\omega_1 = \sqrt{3} {\rm rad\cdot s^{-1}}</math> et <math>\omega_2 = 2 {\rm rad\cdot s^{-1}}</math>).
<li> Montrer que : <br />
<math>\left\{ \begin{array}{l}
\theta = \cfrac{3}{5} \cos\left[\sqrt{2}t\right] + \cfrac{2}{5}\theta_0\cos\left[2\sqrt{3}t\right] \\
\frac{X}{l} = \cfrac{9}{20} \theta_0 \left(\cos\left[\sqrt{2}t\right] - \cos\left[2\sqrt{3}t\right]\right)
\end{array}\right.</math> <br />
constituent une solution du système des équations I et II, vérifiant les conditions initiales <math>\left( \frac{d\theta}{dt} \right) (0) = 0</math>, <math>\theta(0) = \theta_0</math>, <math>X(0) = 0</math>, <math>\left( \frac{dX}{dt} \right) (0) = 0</math>.
Ligne 107 :
</ol>
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<center>'''Schéma n<sup>o</sup>4'''</center>
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