« Application linéaire/Rang » : différence entre les versions

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m →‎Isomorphisme fondamental : mise en forme
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<math>u\,</math> définit un '''isomorphisme de tout supplémentaire de <math>\ker u\,</math> sur <math>\operatorname{Im} u\,</math>'''.}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu = Soit <math>G\,</math> un supplémentaire de <math>\ker u\,</math> dans <math>E\,</math> . Il faut montrer que <math>u\,</math> définit un isomorphisme de <math>G\,</math> dans <math>\operatorname{Im}u\,</math> , c'est-à-dire que la restriction de <math>u\,</math> à <math>G\,</math> (notée <math>u_G\,</math>) est une bijection entre <math>G\,</math> et <math>\operatorname{Im} u\,</math> :<br />
* '''Montrons que <math>u_G\,</math> est injective, c'est-à-dire que <math> \ker u_G = \{0_E\}\,</math>''' : <br />
Soit <math>x\in \ker u_G\,</math> . Alors <math>x\in G\,</math> (ensemble de définition de <math>u_G\,</math>) et <math>x\in \ker u\,</math> , donc <math>x\in G\cap \ker u \Rightarrow x = 0_E\,</math> puisque <math>\ker u\,</math> et <math>G\,</math> sont supplémentaires.<br />