« Fondements des mathématiques/Les expressions formelles, les ensembles et les fonctions » : différence entre les versions

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L’idée du nombre des nombres entiers posait cependant des paradoxes. Par exemple l’ensemble des entiers est en un sens plus grand que l’ensemble des entiers pairs puisqu’il contient aussi l’ensemble des entiers impairs. On pourrait même être tenté de dire qu’il est deux fois plus grand. Cependant en un autre sens ces deux ensembles sont également grands puisqu’on peut obtenir l’un à partir de l’autre en remplaçant un à un chacun de ses éléments. Il suffit de remplacer chaque entier par son double pour avoir l’ensemble des entiers pairs à partir de l’ensemble des entiers. Ce paradoxe était connu de Galilée. Cantor a résolu le problème en adoptant la seconde définition et en affirmant sans crainte que le nombre des entiers est égal au nombre des entiers pairs. On appelle ce nombre l’infini dénombrable. Les ensembles infinis dénombrables sont aussi grands que l’ensemble des entiers.
 
Deux ensembles E et F ont le même nombre d’éléments lorsqu’il existe une relation, ou correspondance, biunivoque entre leurs éléments. On dit aussi une fonction inversible ou une bijection. Une relation binaire R est biunivoque lorqu’elle est une fonction dans les deux directions, lorsque chaque élément de E est relié à un élément et un seul de F et inversement. On dit aussi que qu'E et F ont le même cardinal. Il y a deux définitions cantoriennes des nombres infinis, les cardinaux et les ordinaux. Les ordinaux sont très importants, plus que les cardinaux à bien des égards, et ils seront présentés dans le chapitre 5, mais pour prouver l’existence des ensembles indicibles, c’est la théorie des cardinaux qui permet de conclure.
 
Y a-t-il des ensembles infinis (strictement) plus grands que l’ensemble des entiers ? Oui. C’est la grande découverte de Cantor. Le nombre des nombres réels en particulier est un infini plus grand que le nombre des nombres entiers. On peut définir des nombres infinis toujours plus grands. Le grand théorème de Cantor permet de le comprendre : l’ensemble P(E) des sous-ensembles d’un ensemble E est toujours plus grand que qu'E. Sa démonstration n’est pas très difficile. Elle se fait par l’absurde. Supposons qu’il existe une fonction inversible f entre E et P(E). Définissons le sous-ensemble C de E par x appartient à C si et seulement si x n’est pas élément de f(x). Comme C est élément de P(E) il existe c tel que C=f(c). c est-il élément de f(c) ? Le raisonnement est semblable à celui du paradoxe de Russell. Si c est élément de f(c)=C alors c n’est pas élément de C par définition de C, et de même si c n’est pas élément de f(c). Il faut donc rejeter l’hypothèse. La fonction f ne peut pas exister. E ne peut donc pas être aussi grand que P(E) et il est forcément plus petit puisque P(E) contient toutes les sous-ensembles de E qui ne contiennent qu’un seul élément.
 
L’ensemble P(N) des ensembles de nombres entiers est donc plus grand que l’ensemble N des nombres entiers.