Différences entre les versions de « Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Legendre »

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(correction + réponses 1 et 2)
On travaille dans <math>E=\R[X]</math> muni du produit scalaire <math>\left( f,g \right) = \int_{-1}^{1} f(x) g(x)\mathrm dx</math>
 
On pose <math>\forall n\in\mathbb N</math> le n-ième polynôme de Legendre : <math>\forall x\in \R,~\lambda_n(x)=\frac{n!1}{(2n)2^n n!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}((x^2-1)^n)</math>
 
'''1.''' Vérifier que <math>\left( \cdot,\cdot \right)</math> est bien un produit scalaire sur E.
 
'''2.''' Calculer λ₀, λ₁, λ₂ et λ₃.
 
'''3.''' Montrer que <math>(\lambda_n)_{n\in\mathbb N}</math> est une famille orthonormale de <math>\R[X]</math> pour le produit scalaire <math>\left( \cdot,\cdot \right)</math>.
 
'''4.'''Montrer que <math>\forall n\in\mathbb N</math>, λ<sub>n</sub> vérifie l'équation différentielle <math>(E_1)~:~\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[ (1-x^2)\frac{\mathrm d \lambda_n}{\mathrm dx}\right] + n (n+1) \lambda_n = 0</math>
{{Solution
| contenu =
'''1.''' On reconnait dans <math>\left( \cdot,\cdot \right)</math> le produit scalaire usuel sur <math>L^2 \left( [-1 ; 1] \right)</math>.
 
'''2.''' Les calculs donnent :
*<math>\lambda_0(x)=\frac{0!}{(0)!}((x^2-1)^0)=1</math>,
*<math>\lambda_1(x)=\frac{1}{2^1 \times 1!}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x^2-1) = \frac{1}{2} (2x) = x</math>,
*<math>\lambda_2(x)=\frac{1}{2^2 \times 2!}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}((x^2-1)^2) = \frac{1}{8} \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}(x^4-2x^2+1) = \frac{1}{8} (12x^2-4)=\frac32 x^2-\frac12</math>,
*<math>\lambda_3(x)=\frac{1}{2^3 \times 3!}\frac{\mathrm d^3}{\mathrm dx^3}((x^2-1)^3) = \frac{1}{48} \frac{\mathrm d^3}{\mathrm dx^3}(x^6-3x^4+3x^2-1) = \frac{1}{48} (120x^3-72x)=\frac52 x^3-\frac32 x</math>,
}}
 
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