« Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Legendre » : différence entre les versions
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Ligne 28 :
'''2.''' Les calculs donnent :
*<math>\lambda_0(x)=\frac{
*<math>\lambda_1(x)=\frac{1}{2^1 \times 1!}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x^2-1) = \frac{1}{2} (2x) = x</math>,
*<math>\lambda_2(x)=\frac{1}{2^2 \times 2!}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}((x^2-1)^2) = \frac{1}{8} \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}(x^4-2x^2+1) = \frac{1}{8} (12x^2-4)=\frac32 x^2-\frac12</math>,
*<math>\lambda_3(x)=\frac{1}{2^3 \times 3!}\frac{\mathrm d^3}{\mathrm dx^3}((x^2-1)^3) = \frac{1}{48} \frac{\mathrm d^3}{\mathrm dx^3}(x^6-3x^4+3x^2-1) = \frac{1}{48} (120x^3-72x)=\frac52 x^3-\frac32 x</math>
'''3.''' Soient ''n'' et ''p'' deux entiers. On a :
:<math>\left( \lambda_n , \lambda_p \right) = \frac{1}{2^{n+p} n! p!} \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}((x^2-1)^n) \frac{\mathrm d^p}{\mathrm dx^p}((x^2-1)^p)\mathrm dx</math>.
En faisant une intégration par parties, il vient :
:<math>\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}((x^2-1)^n) \frac{\mathrm d^p}{\mathrm dx^p}((x^2-1)^p)\mathrm dx = \left[ \frac{\mathrm d^{n}}{\mathrm dx^{n}}((x^2-1)^n) \frac{\mathrm d^{p-1}}{\mathrm dx^{p-1}}((x^2-1)^p) \right]_{-1}^{1}- \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm d^{n+1}}{\mathrm dx^{n+1}}((x^2-1)^n) \frac{\mathrm d^{p-1}}{\mathrm dx^{p-1}}((x^2-1)^p)\mathrm dx</math>.
Là, on remarque que le polynôme <math>(x^2-1)^p</math> admet -1 et 1 comme racines, d'ordre ''p'', donc <math> \left. \frac{\mathrm d^{p-1}}{\mathrm dx^{p-1}}((x^2-1)^p) \right|_{-1} = \left. \frac{\mathrm d^{p-1}}{\mathrm dx^{p-1}}((x^2-1)^p) \right|_{1} = 0</math>, et donc le terme entre crochets est nul.
Par récurrence, il vient :
:<math>\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}((x^2-1)^n) \frac{\mathrm d^p}{\mathrm dx^p}((x^2-1)^p)\mathrm dx = (-1)^p \int_{-1}^{1} (x^2-1)^p\frac{\mathrm d^{n+p}}{\mathrm dx^{n+p}}((x^2-1)^n) \mathrm dx</math>.
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