Différences entre les versions de « Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Legendre »

mise en commentaire d'un calcul à reprendre
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(mise en commentaire d'un calcul à reprendre)
:<math>\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}((x^2-1)^n) \frac{\mathrm d^p}{\mathrm dx^p}((x^2-1)^p)\mathrm dx = \left[ \frac{\mathrm d^{n}}{\mathrm dx^{n}}((x^2-1)^n) \frac{\mathrm d^{p-1}}{\mathrm dx^{p-1}}((x^2-1)^p) \right]_{-1}^{1}- \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm d^{n+1}}{\mathrm dx^{n+1}}((x^2-1)^n) \frac{\mathrm d^{p-1}}{\mathrm dx^{p-1}}((x^2-1)^p)\mathrm dx</math>.
Là, on remarque que le polynôme <math>(x^2-1)^p</math> admet -1 et 1 comme racines, d'ordre ''p'', donc <math> \left. \frac{\mathrm d^{p-1}}{\mathrm dx^{p-1}}((x^2-1)^p) \right|_{-1} = \left. \frac{\mathrm d^{p-1}}{\mathrm dx^{p-1}}((x^2-1)^p) \right|_{1} = 0</math>, et donc le terme entre crochets est nul.
<!---
 
Par récurrence, il vient :
:<math>\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}((x^2-1)^n) \frac{\mathrm d^p}{\mathrm dx^p}((x^2-1)^p)\mathrm dx = (-1)^p \int_{-1}^{1} (x^2-1)^p\frac{\mathrm d^{n+p}}{\mathrm dx^{n+p}}((x^2-1)^n) \mathrm dx</math>.
*Si <math>n=p</math>, il vient :
:<math>(-1)^n \int_{-1}^{1} (x^2-1)^n\frac{\mathrm d^{2n}}{\mathrm dx^{2n}}((x^2-1)^n) \mathrm dx = (-1)^n (2n)! \int_{-1}^{1} (x^2-1)^n \mathrm dx = (-1)^n (2n)! \int_{-1}^{1} (x^2-1)^n \mathrm dx = \frac{(-1)^2 4^{n+1} (2n)! n! (n+1)!}{(2n+2)!} = \frac{2^{2n+1} (n!)^2}{(2n+1)}</math>.
--->
On démontrera la dernière égalité par récurrence.
}}
 
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