« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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Trouver tous les polynômes <math> P </math> tels que <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)</math>.
 
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Soit <math>\lambda</math> une racine de <math>P</math>.
On a <math>P(\lambda^2) = P(\lambda)P(\lambda + 1) = 0</math>.
 
Si <math>\left| \lambda \right| \notin \{ 0, 1 \}, P</math> admet une infinité de racines.
Donc <math>P</math> est le polynôme nul.
 
Donc tout polynôme non nul satisfaisant cette équation n'admet comme racine éventuelle que 1, -1 et 0.
 
 
Si <math>P(X) = a X^{n_1}(X-1)^{n_2}(X+1)^{n_3}</math>, avec a un scalaire, <math>n_1, n_2, n_3 \in \N</math>.
 
<math>P(X^2) = a X^{2 n_1}(X^2 -1)^{n_2}(X^2 +1)^{n_3} = a X^{2 n_1}(X-1)^{n_2}(X+1)^{n_2}(X-i)^{n_3}(X+i)^{n_3}</math>
 
<math>P(X)P(X+1) = a^2 X^{n_1 + n_2}(X-1)^{n_2}(X+1)^{n_3 + n_1}(X+2)^{n_3}</math>
 
 
Par identification, on obtient le système :
 
<math>\begin{cases} a = a^2 \\ 2 n_1 = n_1 + n_2 \\ n_2 = n_2 \\ n_2 = n_3 + n_1 \\ n_3 = 0 \end{cases}</math>
<math>\Leftrightarrow</math>
<math>\begin{cases} a = 1 \text{ ou } 0 \\ n_1 = n_2 \\ n_3 = 0 \end{cases}</math>
 
 
Donc <math>P</math> est nul ou <math>P</math> est de la forme <math>P(X) = (X^2-X)^n \text{, avec } n \in \N</math>
 
Réciproquement, les polynômes de cette forme vérifient bien l'équation :
 
<math>P(X)P(X+1) = (X^2 - X)^n ((X+1)^2-(X+1))^n = (X^2 - X)^n (X^2+2X+1-X-1)^n = X^{2n} (X^2-1)^n = P(X^2)</math>
}}
 
== Exercice 2 ==
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