« Calcul différentiel/Recherches d'extrema » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Aucun résumé des modifications |
|||
Ligne 74 :
=== Condition nécessaire sur la différentielle seconde ===
{{Théorème
|titre = condition nécessaire d'existence d'un extremum
|contenu =
Soit <math>f:\Omega \rightarrow \R</math> de classe <math>C^2</math>.
Soit <math>Q</math> la forme quadratique ayant pour matrice la matrice hessienne de <math>f</math> en <math>x_0 \in \Omega</math>.
* Si <math>f</math> admet un minimum local en <math>x_0</math> alors <math>Q</math> est positive.
* Si <math>f</math> admet un maximum local en <math>x_0</math> alors <math>Q</math> est négative.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
Montrons-le par exemple si <math>f</math> admet un maximum en <math>x_0</math>.
Soit <math>u \in \R, h \in \R^n</math>, selon la formule de Taylor-Young à l'ordre 2, on a :
<math>f(x_0 + uh) = f(x_0) + \underbrace{(df)_{x_0}(h)}_{= 0} + \frac{1}{2!} Q(h) + u^2 \| h \|^2 \epsilon(u)</math>
Pour u assez petit, <math>f(x_0 + uh) \leqslant f(x_0)</math>,
donc <math>\frac{1}{2!} Q(h) + u^2 \| h \|^2 \epsilon(u) \leqslant 0</math>
Si on fait <math>u \rightarrow 0</math>,
<math>Q(h) \leqslant 0</math>, et ce pour tout h
'''remarque''' : il faut penser à remplacer <math>h</math> par <math>uh</math> dans la formule de Taylor-Young pour pouvoir écrire
la dernière inégalité pour tout <math>h</math> et pas seulement pour h petit.
}}
== Méthodes ==
| |||