« Calcul différentiel/Recherches d'extrema » : différence entre les versions
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→Condition nécessaire sur la différentielle : Ajout d'une démonstration |
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Ligne 51 :
|titre = condition nécessaire d'existence d'un extremum
|contenu =
Soit <math>f:\Omega \
Si <math>f</math> admet un extremum local en <math>x_0 \in \Omega</math>, alors <math>x_0</math> est un point critique.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
Supponsons par exemple que ''ƒ'' admette un minimum en <math>x_0</math>.
On a : <math>(df)_{x_0}(h) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + th) - f(x_0)}{t}</math>
De plus <math>f(x_0 + th) - f(x_0) \geqslant 0</math> pour ''t'' assez petit en valeur absolue.
Donc <math>\underbrace{0 \leqslant}_{\text{pour } t > 0} \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + th) - f(x_0)}{t} \underbrace{\leqslant 0}_{\text{pour } t < 0}</math>
Donc <math>(df)_{x_0}(h) = 0</math>
}}
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