« Calcul différentiel/Recherches d'extrema » : différence entre les versions
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Ligne 144 :
Soit <math>x_0 \in \Omega</math> un point critique.
Soit
* Si
* Si
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{{Démonstration déroulante
|contenu =
Soit ''H'' la matrice hessienne de ''ƒ'' en <math>x_0</math> (c'est la matrice de ''Q'').
''H'' est symétrique réelle.
Soient <math>\lambda_1 \leqslant \ldots \leqslant \lambda_m</math> les valeurs propres de ''H''.
Si ''Q'' est définie positive (par exemple), alors <math>\lambda_1 > 0</math>.
On applique le théorème de Tyalor-Young (au point critique)
<math>f(x_0 + h) - f(x_0) = \underbrace{(df)_{x_0}}_{= 0} + \frac{Q(h)}{2} + \| h \|^2 \epsilon (h) \geqslant (\frac{\lambda_1}{2} + \epsilon (h)) \| h \|^2</math>
Pour ''h'' assez petit, on a <math>\epsilon (h) \leqslant \frac{\lambda_1}{4}</math>
Donc <math>f(x_0 + h) - f(x_0) \geqslant \frac{\lambda_1}{4} \| h \|^2 > 0</math>
On a donc un minimum local strict.
}}
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