« Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels » : différence entre les versions
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{{Exercice
| titre = Espaces et sous-espaces vectoriels | idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Espace vectoriel]]
| chapitre = [[Espace vectoriel/Définitions|Définitions]] | numéro = 1
| niveau = 13 }} * <math>\mathbb K</math> désigne <math>\R</math> ou <math>\mathbb C</math>
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{{Solution
| contenu = ;Série 1
'''a.''' <math>v_1\begin{array}{|l}1\\2\end{array} \in E_{1a}</math> et <math>-v_1\begin{array}{|l}-1\\-2\end{array} \not\in E_{1a}</math>
{{Résultat|Donc E<sub>1a</sub> n'est pas un sous-espace vectoriel de <math>\R^2</math>.}}▼
{{Résultat
}}
'''b.''' <math>v_1\begin{array}{|l}1\\0\end{array} \in E_{1b}</math> et <math>v_2\begin{array}{|l}0\\1\end{array} \in E_{1b}</math>
<math>(v_1+v_2)\begin{array}{|l}1\\1\end{array} \not\in E_{1b}</math>
{{Résultat|Donc E<sub>1b</sub> n'est pas un sous-espace vectoriel de <math>\R^2</math>.}}▼
{{Résultat
}}
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<math>(\lambda v_1+v_2)\begin{array}{|l}\lambda x_1+x_2\\\lambda x_1+x_2\end{array}</math>
:Donc <math>\forall(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times E_{1c}^2,~\lambda v_1+v_2\in E_{1c}</math>
{{Résultat|Donc E<sub>1c</sub> est un sous-espace vectoriel de <math>\R^2</math>.}}▼
{{Résultat
}}
'''d.''' <math>v_1\begin{array}{|l}1\\0\end{array} \in E_{1d}</math> et <math>v_2\begin{array}{|l}0\\1\end{array} \in E_{1d}</math>
<math>(v_1+v_2)\begin{array}{|l}1\\1\end{array} \not\in E_{1d}</math>
{{Résultat|Donc E<sub>1d</sub> n'est pas un sous-espace vectoriel de <math>\R^2</math>.}}▼
{{Résultat
}}
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;Série 2
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;Série 3
Ligne 94 ⟶ 112 :
{{Solution
| contenu =
;Question 1
* Soient <math>\lambda \in \R, u_1 = (x_1,y_1,z_1)\in F, u_2 = (x_2,y_2,z_2) \in F</math>. Alors <math>\lambda u_1 + u_2 = (\lambda x_1 + x_2,\lambda y_1 + y_2,\lambda z_1 + z_2)</math> et <math>(\lambda x_1 + x_2) + (\lambda y_1 + y_2) - (\lambda z_1 + z_2) = \lambda (x_1 + y_1 + z_1) - (x_2 + y_2 + z_2)=0</math>
{{Résultat|''F'' est bien un sous espace vectoriel de <math>\R^3</math>.}}▼
{{Résultat
}}
* Soient <math>\lambda \in \R, (x_1,x_2) \in G^2</math>. Il existe alors <math>(a_1, b_1, a_2, b_2) \in\R^4</math> tels que
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Alors <math>\lambda x_1 + x_2 = \begin{pmatrix}\lambda (a_1-b_1) + a_2-b_2\\ \lambda (a_1+b_1) + a_2+b_2\\ \lambda (a_1-3b_1) + a_2-3b_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}(\lambda a_1+a_2)-(\lambda b_1+b_2)\\ (\lambda a_1+a_2)+(\lambda b_1+b_2)\\ (\lambda a_1+a_2)-3(\lambda b_1+b_2)\end{pmatrix}</math>
{{Résultat|''G'' est bien un sous espace vectoriel de <math>\R^3</math>.}}▼
{{Résultat
}}
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;Question 2
Si <math>x \in F\cap G</math>, alors il existe <math>(a,b)\in\R^2</math> tel que :
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Réciproquement, on vérifie que le vecteur (2,1,3) est bien dans ''F'' et dans ''G'', ce qui permet de conclure :
{{Résultat|<math>F\cap G = \rm{Vect} \{(2,1,3)\}</math>}}▼
{{Résultat
}}
}}
Ligne 124 ⟶ 152 :
{{Solution
| contenu =
;<small>
;<math>F+G=F\cup G </math> de façon évidente (définition de la réunion de deux ensembles). Or <math>F\cap G=F+G=F\cup G </math>. On a donc <math>F\cap G=F\cup G </math> et donc</small> <big><math> F=G </math></big>.
Ligne 133 ⟶ 161 :
Soient ''F'' et ''G'' deux sous-espaces vectoriels de ''E''. Montrer que <math>F\cup G</math> est un sous-espace vectoriel de ''E'' <math>\Leftrightarrow</math> <math>F\subset G</math> ou <math>G\subset F</math>.
{{Solution
| contenu ''''' <math>\Leftarrow</math> :''''' <br /> On suppose que <math>F\cup G</math> est un espace vectoriel et on montre que soit <math>F\subset G</math> soit <math>G\subset F</math>. ▼
<br /> Par définition de l'union cela signifie que soit <math>z\in F</math> soit <math>z\in G</math>. Mais si <math>z\in G</math> alors puisque <math>x</math> est aussi dans <math>G</math> (et que ce dernier est un espace vectoriel) <math>x_0=z-x\in G</math> ce qui est absurde par construction de <math>x_0</math>. Donc nécéssairement <math>z\in F</math> et alors <math>x=z-x_0</math> est aussi dans <math>F</math>.▼
Soit à présent <math>x\in G</math>, alors <math>x\in F\cup G</math> et puisque <math>x_0\in F</math> alors <math>x_0\in F\cup G</math> et comme <math>F\cup G</math> est, par hypothèse, un espace vectoriel <math>z=x+x_0\in F\cup G</math>.
▲
▲
''''' <math>\Rightarrow</math> :'''''
Si <
▲<br /> Si <math>F\subset G</math> alors <math>F\cup G=G</math> qui est donc un espace vectoriel.
}}
Ligne 154 ⟶ 193 :
Montrer que ''F'' et ''G'' sont deux sous-espaces supplémentaires de <math>\mathcal C([-1;1],\mathbb C)</math>.
{{Solution
| contenu = '''''(i)''''' <
'''''(ii)''''' Toute fonction <math>f\in \mathcal C([-1;1],\mathbb C)</math> s'ecrit <math>f=\alpha+\beta</math> avec <math>\alpha\in F</math> et <math>\beta\in G</math>. <br /><br />'''''(i)''''' : Soit <math>f\in F\cap G</math> ; puisque <math>f\in G</math> alors <math>f</math> est constante : <math>f(t)=c</math> pour tout <math>t\in [-1;1]</math>. De plus, puisque <math>f</math> est également dans <math>F</math> alors <math>0=\int_{-1}^1f(t)~\mathrm dt=\int_{-1}^1c~\mathrm dt=c\int_{-1}^11~\mathrm dt=2c</math> et donc <math>f(t)=c=0</math>.
<br />'''''(ii)''''' : On pose <math>\alpha = f - \frac{1}{2}~\int_{-1}^1f(t)~\mathrm dt</math> et <math>\beta=\frac{1}{2}~\int_{-1}^1f(t)~\mathrm dt</math>. Alors naturelement <math>\beta</math> est une constante, donc <math>\beta\in G</math> ; utilisant la linéarité de l'intégrale, on observe que <math>\alpha\in F</math>. Finalement on a trivialement <math>f=\alpha+\beta</math>
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