Différences entre les versions de « Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie comme solution d'une équation paramétrée »

(→‎Exemple 3 : Rédaction)
(→‎Exemple 1 : typo)
On considère la fonction f<sub>n</sub> définie par :
 
<math> \forall x \in \R_+^* \qquad f_n(x)=x-n. \ln(x) </math>
 
On montre aisément que pour n ≥ 3, f<sub>n</sub> est décroissante sur ]1 ; e[ et réalise donc une bijection de cet intervalle vers l’intervalle ]e-n ; 1[. Comme 0 ∈ ]e-n ; 1[, l’équation f<sub>n</sub>(x) = 0 admet, sur ]1 ; e[, une solution et une seule que l’on peut appeler u<sub>n</sub> et l’on défini ainsi une suite (u<sub>n</sub>)<sub>n∈ℕ</sub>.
 
<math> f_n(u_n)=0 \Leftrightarrow u_n-n. \ln(u_n)=0 \Leftrightarrow n.\ln(u_n)=u_n </math>
 
Posons :
 
<math> g_n(x) = n.\ln(x)=x-f_n(x) </math>
 
g<sub>n</sub> est croissante comme somme de fonctions croissantes.
Comme :
 
<math> n.\ln(x)=y \Leftrightarrow x=e^{\frac yn} </math>
 
on posera :
<math> \lim_{n \to \infty} u_n = 1 </math>
 
Si nous prenons un développement limité à l’ordre 1 de <math>x ⊢>\mapsto e<sup>^x</supmath>, on obtient :
 
<math> 1+\frac 1n +o\left( \frac 1n \right) < u_n < 1+\frac en +o\left( \frac 1n \right) </math>
<math> e^{\frac{1+\frac 1n +o\left( \frac 1n \right)}n} < u_n < e^{\frac{1+\frac en +o\left( \frac 1n \right)}n} </math>}
Et en prenant à nouveau un développement limité à l’ordre 2 de <math>x ⊢>\mapsto e<sup>^x</supmath>, on obtient :
 
<math> 1+\frac 1n +\frac 1{n^2}+o\left( \frac 1{n^2} \right)+\frac 12\left(\frac 1n +\frac 1{n^2}+o\left( \frac 1{n^2} \right) \right)^2 +o\left( \frac 1{n^2} \right) < u_n < 1+\frac 1n +\frac e{n^2}+o\left( \frac 1{n^2} \right)+\frac 12\left(\frac 1n +\frac e{n^2}+o\left( \frac 1{n^2} \right) \right)^2 +o\left( \frac 1{n^2} \right) </math>
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