« Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie comme solution d'une équation paramétrée » : différence entre les versions
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→Exemple 2 : typo |
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Ligne 183 :
Reprenons la même fonction f<sub>n</sub> que dans l’exemple précédent.
<math> \forall x \in \R_*^+ \qquad f_n(x) = x-n
Mais cette fois considérons l’intervalle [n ; n<sup>2</sup>]. En supposant n ≥ 3.
Ligne 189 :
On montre aisément que pour n ≥ 3, f<sub>n</sub> est croissante sur ]n ; n<sup>2</sup>[ et réalise donc une bijection de cet intervalle vers l’intervalle ]n-n.ln(n) ; n<sup>2</sup>-2n.ln(n)[.
Vérifions que 0 ∈ ]n-n
Pour cela étudions les fonctions g(x) = x - x
Pour la fonction g, on a g'(x)=-ln(x) et on a donc le tableau suivant :
Ligne 213 :
Grâce à ce tableau, nous voyons que pour n ≥ 3, on a n – n
Ligne 247 :
h étant toujours positive on a :
<math> n^2 + 2n
Par conséquent 0 ∈ ]n-n
l’équation f<sub>n</sub>(x) = 0 admet donc sur ]n ; n<sup>2</sup>[ une solution et une seule que l’on peut appeler v<sub>n</sub> et l’on défini ainsi une suite (v<sub>n</sub>)<sub>n∈ℕ</sub>.
<math> f_n(v_n)=0 \Leftrightarrow v_n - n
Posons :
<math> g_n(x)=n
g<sub>n</sub> est croissante comme somme de fonctions croissantes.
Ligne 287 :
qui donne :
<math> n
Cette inégalité étant encore trop large pour en déduire un équivalent de v<sub>n</sub>, prenons à nouveau l’image par h<sub>n</sub> des trois membres.
<math> h_n\left( n
On obtient :
<math> n
Que l’on peut décortiquer en :
<math> n
En divisant chaque terme par n.ln(n), on obtient :
<math> 1+\frac{\ln\left( \ln(n)\right)}{\ln(n)} <\frac{v_n}{\ln(n)}<\frac{\ln(2)}{\ln(n)}+1+\frac{\ln\left( \ln(n)\right)}{\ln(n)} </math>
En faisant tendre n vers +∞ et d’après le théorème de l’encadrement, on obtient :
<math> \lim_{n \to \infty} \frac{v_n}{n
Ce qui nous permet de conclure :
Ligne 314 :
| contenu =
<math> v_n \sim n
}}
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