Différences entre les versions de « Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie comme solution d'une équation paramétrée »

(→‎Exemple 2 : Rédaction)
(→‎Exemple 2 : typo)
Reprenons la même fonction f<sub>n</sub> que dans l’exemple précédent.
 
<math> \forall x \in \R_*^+ \qquad f_n(x) = x-n.\ln(x) </math>
 
Mais cette fois considérons l’intervalle [n ; n<sup>2</sup>]. En supposant n ≥ 3.
On montre aisément que pour n ≥ 3, f<sub>n</sub> est croissante sur ]n ; n<sup>2</sup>[ et réalise donc une bijection de cet intervalle vers l’intervalle ]n-n.ln(n) ; n<sup>2</sup>-2n.ln(n)[.
 
Vérifions que 0 ∈ ]n-n. ln(n) ; n<sup>2</sup>-2n. ln(n)[.
 
Pour cela étudions les fonctions g(x) = x - x. ln(x) et h(x) = x<sup>2</sup> - 2x. ln(x)
 
Pour la fonction g, on a g'(x)=-ln(x) et on a donc le tableau suivant :
 
 
Grâce à ce tableau, nous voyons que pour n ≥ 3, on a n – n. ln(n) < 0.
 
 
h étant toujours positive on a :
 
<math> n^2 + 2n.\ln(n) > 0 </math>
 
Par conséquent 0 ∈ ]n-n.\ln(n) ; n2n<sup>2</sup>-2nln2n\ln(n)[.
 
l’équation f<sub>n</sub>(x) = 0 admet donc sur ]n ; n<sup>2</sup>[ une solution et une seule que l’on peut appeler v<sub>n</sub> et l’on défini ainsi une suite (v<sub>n</sub>)<sub>n∈ℕ</sub>.
 
<math> f_n(v_n)=0 \Leftrightarrow v_n - n. \ln(v_n)=0 \Leftrightarrow n.\ln(v_n)=v_n </math>
 
Posons :
 
<math> g_n(x)=n.\ln(x)=x-f_n(x) </math>
 
g<sub>n</sub> est croissante comme somme de fonctions croissantes.
qui donne :
 
<math> n.\ln(n)<v_n<2n.\ln(n) </math>
 
Cette inégalité étant encore trop large pour en déduire un équivalent de v<sub>n</sub>, prenons à nouveau l’image par h<sub>n</sub> des trois membres.
 
<math> h_n\left( n.\ln(n)\right) <h_n(v_n)<h_n\left( 2n.\ln(n)\right) </math>
 
On obtient :
 
<math> n.\ln\left( n.\ln(n)\right) <v_n<n.\ln\left( 2n.\ln(n)\right) </math>
 
Que l’on peut décortiquer en :
 
<math> n.\ln(n)+n.\ln\left( \ln(n)\right) <v_n<n.\ln(2)+n.\ln(n)+n.\ln\left( \ln(n)\right) </math>
 
En divisant chaque terme par n.ln(n), on obtient :
 
<math> 1+\frac{\ln\left( \ln(n)\right)}{\ln(n)} <\frac{v_n}{\ln(n)}<\frac{\ln(2)}{\ln(n)}+1+\frac{\ln\left( \ln(n)\right)}{\ln(n)} </math>
 
En faisant tendre n vers +∞ et d’après le théorème de l’encadrement, on obtient :
 
<math> \lim_{n \to \infty} \frac{v_n}{n.\ln(n)}=1 </math>
 
Ce qui nous permet de conclure :
| contenu =
 
<math> v_n \sim n.\ln(n) </math>
 
}}
325

modifications