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Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie comme solution d'une équation paramétrée (modifier)
Version du 29 avril 2012 à 14:44
, il y a 8 ans→Exemple 3 : typo
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On considère la fonction φ<sub>n</sub> définie par :
<math> \forall k \geqslant 2,\ \forall x \in \R_+^* \qquad \phi_k(x)=k(x-1)-x
Étudions cette fonction sur ]0 ; +∞[.
On a :
<math> \phi_k'(x)=k-\ln(x)-1 </math>
On obtient donc le tableau de variation :
Comme φ<sub>k</sub>(1) = 0, nous voyons clairement que l’équation φ<sub>k</sub>(x) = 0 a une solution que l’on notera a<sub>k</sub> vérifiant e^{k-1} < a<sub>k</sub>. De plus, on a :
<math> \phi_k(e^k)=k(e^k-1)-e^k
Par conséquent, on a aussi a<sub>k</sub> < e<sup>k</sup>
Considérons l’équation :
<math> k(x-1)_x
La variable x figure trois fois dans l’équation. On peut donc exprimer x comme fonction de x de trois manières différentes.
Soit :
<math> x=\frac{x
Soit :
<math> x=\frac{k(x-1)}{\ln(x)} </math>
Soit :
Posons :
<math> f_k(x)=\frac{x
Le lecteur peut vérifier aisément que dans l’intervalle ]e<sup>k-1</sup>;e<sup>k</sup>[, seule la fonction h<sub>k</sub> à une dérivée inférieure à 1. c’est donc elle que nous adopterons.
<math> e^k - \frac{ke^k}{e^{k-1}} + o(k) < a_k < e^k - \frac{ke^k}{e^k} + o(k) </math>
<math> e^k - k
Et nous voyons déjà que :
Prenons à nouveau l’image par h<sub>k</sub> des trois membres de la dernière inégalité. nous obtenons :
<math> h_k \left( e^k - k
C’est à dire :
<math> e^ke^{-\frac k{e^k - k
Et en prenant à nouveau un développement limité, on obtient :
<math> e^k \left(1-\frac k{e^k - k
Simplifions :
<math> e^k -\frac {k
Soit :
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