Différences entre les versions de « Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie comme solution d'une équation paramétrée »

(→‎Exemple 2 : typo)
(→‎Exemple 3 : typo)
On considère la fonction φ<sub>n</sub> définie par :
 
<math> \forall k \geqslant 2,\ \forall x \in \R_+^* \qquad \phi_k(x)=k(x-1)-x.\ln(x) </math>
 
Étudions cette fonction sur ]0 ; +∞[.
On a :
 
<math> \phi_k'(x)=k-\ln(x)-1 </math>
 
On obtient donc le tableau de variation :
Comme φ<sub>k</sub>(1) = 0, nous voyons clairement que l’équation φ<sub>k</sub>(x) = 0 a une solution que l’on notera a<sub>k</sub> vérifiant e^{k-1} < a<sub>k</sub>. De plus, on a :
 
<math> \phi_k(e^k)=k(e^k-1)-e^k.\ln(e^k)=k. e^k-k-k. e^k=-k<0 </math>
 
Par conséquent, on a aussi a<sub>k</sub> < e<sup>k</sup>
Considérons l’équation :
 
<math> k(x-1)_x.\ln(x)=0 \Leftrightarrow k(x-1)=x.\ln(x) </math>
 
La variable x figure trois fois dans l’équation. On peut donc exprimer x comme fonction de x de trois manières différentes.
Soit :
 
<math> x=\frac{x.\ln(x)}{k}+1 </math>
 
Soit :
 
<math> x=\frac{k(x-1)}{\ln(x)} </math>
 
Soit :
Posons :
 
<math> f_k(x)=\frac{x.\ln(x)}{k}+1 \qquad \qquad g_k(x)=\frac{k(x-1)}{\ln(x)} \qquad \qquad h_k(x)=e^{k\frac{x-1}{x}} </math>
 
Le lecteur peut vérifier aisément que dans l’intervalle ]e<sup>k-1</sup>;e<sup>k</sup>[, seule la fonction h<sub>k</sub> à une dérivée inférieure à 1. c’est donc elle que nous adopterons.
<math> e^k - \frac{ke^k}{e^{k-1}} + o(k) < a_k < e^k - \frac{ke^k}{e^k} + o(k) </math>
 
<math> e^k - k. e + o(k) < a_k < e^k - k + o(k) </math>
 
Et nous voyons déjà que :
Prenons à nouveau l’image par h<sub>k</sub> des trois membres de la dernière inégalité. nous obtenons :
 
<math> h_k \left( e^k - k. e + o(k) \right) < h_k(a_k) < h_k \left( e^k - k + o(k) \right) </math>
 
C’est à dire :
 
<math> e^ke^{-\frac k{e^k - k. e + o(k)}} < a_k < e^kek e^{-\frac k{e^k - k + o(k)}} </math>
 
Et en prenant à nouveau un développement limité, on obtient :
 
<math> e^k \left(1-\frac k{e^k - k. e + o(k)} + o\left( \frac k{e^k - k. e + o(k)} \right) \right) < a_k < e^k \left(1-\frac k{e^k - k + o(k)} + o\left( \frac k{e^k - k + o(k)} \right) \right) </math>
 
Simplifions :
 
<math> e^k -\frac {k. e^k}{e^k - k.e + o(k)} + o\left( \frac {k. e^k}{e^k - k. e + o(k)} \right) < a_k < e^k -\frac {k. e^k}{e^k - k + o(k)} + o\left( \frac {k. e^k}{e^k - k + o(k)} \right) </math>
 
Soit :
325

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